Zeigen sie: die Menge K={a+b(Wurzel2)|a,b aus Q} Teilmenge aus R.

Question

Aufgabe 2 (4 Punkte):

Zeigen Sie: Die Menge K := {a + b√2|a,b ∈ ℚ}⊂ℝ mit der üblichen Addition und Multiplikation ist ein Korper.

Genauer:

(a) Machen Sie eine Liste der Dinge, die dazu gepruft werden mussen.

(b) Welche Eintrage Ihrer Liste folgen direkt daraus, dass R ein Ring ist? (Zu diesen Eintragen brauchen sie nichts weiter zu schreiben.)

(c) Prufen Sie, dass auch die restlichen Dinge Ihrer Liste zutre en.

Hinweis: Bei einem Bruch 1/a+b√2 kann man die wurzel im nenner loswerden,indem man mit a-b√2 erweitert.

Könnte a-b√2 = 0 sein? Sie dürfen ohne beweise verwenden das √2 irrational ist.

Das ist die aufgabe aber bei b und c bin ich mir nicht sicher ob ich alles richtig gemacht habe...

Answer 1

mach mal erst a)  . das müsste irgendwo in deinen Unterlagen stehen:  Körperaxiome

b) Vergleiche mit den Ringaxiomen, da bleibt nicht mehr viel übrig, nämlich:

(i) Es muss bzgl. der Multiplikation ein neutrales Element geben

und

(ii)  Jedes Element ≠ 0 muss ein multiplikatives Inverses besitzen.

Das zu zeigen ist nicht schwer:(i)   n = 1+ 0√2   ist das neut. El;  denn (rechne es nach) es gilt

(1+ 0√2 )*(a+b√2 ) = a+b√2  und

(a+b√2)   * (1+0√2 )  =   a+b√2.

(ii) zu den Inversen hattest du den Tipp.

         Das Inverse zu a+b√2  ist natürlich  1 / (a+b√2)  und du musst  nur zeigen,

dass sich das auch in der Form c + d√2  mit c, d aus Q schreiben lässt.

Dazu erweitern mit   a-b√2 . Das ist nicht 0, weil sonst  a = b√2

im Widerspruch zu rat. Zahl * irration. Zahl ist immer irrational, also


  1 / (a+b√2) =  ( a-b√2 ) / ( (a+b√2) * (a-b√2) ) 

=   ( a-b√2 ) / (a²  -2b²   )  =  a / (a²  -2b²  )  -  ( b /  (a²  -2b²  ) ) *√2

Bingo!