Aufgabe zu Vektorraum und Dimension

Question

(1) Sei V = { (a₁, a₂, a₃, ....) | a_i ∈ ℝ }         (i) Zeige: dim V = ∞      (ii) Gib unendlich viele linear unabhängige Vektoren in V an.(2) Sei V ein Vektorraum über K mit dim V = ∞ Zeige: es gibt unendlich viele linear unabhängige Vektoren in V.

Answer 1

\(i)\) Widerspruchsbeweis: Angenommen \(\dim(V)\) wäre endlich, dann gibt es ein \(n\in\mathbb N_0,\) sodass \(\dim(V)=n.\)

Da aber $$e_1=(1,0,0,0,0,...),\\e_2=(0,1,0,0,0,0,...),\\ ...,\\ e_{n+1}=(0,0,...,0_{n},1_{n+1},0_{n+2},0,...)$$ linear unabhängig sind (der Index bei \(e_{n+1}\) soll einfach andeuten, dass der Einser an der \((n+1)\)-ten Stelle steht), erzeugen sie einen Vektorraum, der Dimension \(n+1\) hat. Die Dimension von \(V\) ist damit kleiner als die Dimension eines Raumes, der von Vektoren in \(V\) erzeugt wird (alle \(e_i\) sind in \(V\)). Das würde bedeuten, für einen Untervektorraum  \(W\leq V\) gilt: \(\dim(W)\geq\dim(V)\). Widerspruch!
Also kann die Dimension von \(V\) nicht endlich sein.

Falls ihr etwas in diesem Beweis noch nicht durchgemacht habt (z.B. dass die Dimension eines Unterraumes kleiner oder gleich der Dimension des ganzen Vektorraums ist), frag nochmal nach!

\(ii)\) Die obengenannten \(e_n\) bilden für \(n\in\mathbb N\) eine Folge von linear unabhängigen Vektoren: \(n\neq m \Rightarrow (a\cdot e_n+b\cdot e_m = 0\) ist nur möglich, wenn \(a=0,\ b=0).\)

Man kann die Liste ober also beliebig verlängern. \((e_n)_{n\in\mathbb N}\) enthält also unendlich viele linear unabhängige Vektoren in \(V.\)

\(2)\) Gäbe es in \(V\) nur endlich viele linear unabhängige Vektoren, dann heißt das, es gibt ein \(n\in\mathbb N\), sodass \(v_1,...,v_n\) die maximale Anzahl unabhängiger Vektoren ist. Dann gilt für jeden weiteren Vektor \(v\in V\), dass \(v\) linear abhängig von \(v_1,...,v_n\) ist. Das bedeutet, es gibt eine Darstellung von \(v\) als Linearkombination von \(v_1,...,v_n\!:v=\sum_{i=1}^na_i\cdot v_i\). Dann folgt aber, dass \(v_1,...,v_n\) schon ein Erzeugendensystem von \(V\) ist, denn jeder Vektor in \(V\) hat dann eine Darstellung als Linearkombination der Erzeugenden \(v_1,...,v_n\). Ein Erzeugendensystem mit \(n\) Einträgen kann aber höchstens einen Vektorraum von Dimension \(n\) erzeugen (wenn sie alle linear unabhängig sind, was der Fall ist). Also: \(\dim(V)=n\in \mathbb N\). Widerspruch zu \(\dim(V)=\infty\).