Basis Dimension bestimmen

Question

Gegeben ist Span{(2,-1,1,-1)^T,(1,2,3,2)^T,(1,1,2,1)^T} und man soll Basis und Dimension bestimmen.

sagen wir x,y,z ∈ ℝ

Lösung des Systems ist 2x+y+z=0 und 2,5y+1,5z=0

Also ist es linear abhängig.

Wie gehe ich nun vor?

Einfach x streichen, so dass Basis={(1,2,3,2)^T,(1,1,2,1)^T} , also Dimension 2 ?

Answer 1

Wegen der lin. Abhängigkeit, kannst du einen streichen, der sich durch die anderen

beiden ausdrücken lässt.

In diesem Fall ist es egal, welchen du streichst.

Und die restlichen beiden sind offenbar lin. unabh.

bilden also eine Basis.

Comments

 Die Dimension ist also 2, gell?
 "Wegen der lin. Abhängigkeit, kannst du einen streichen"
 Wen meinst du mit "einen" ?

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Hat er doch geschrieben: Einen, der sich durch die anderen beiden ausdrücken lässt.

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Wenn du etwa 

(1;1;0)  und ( 2;2;0 ) und ( 1;0;0) hättest.

Dann wären die auch lin. abh.

Aber du könntest  den ersten oder den 2. streichen,
aber nicht den 3, weil der sich nicht durch die anderen

beiden darstellen lässt.

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Ok danke,

also Basis sein können entweder {(2,-1,1,-1)^T,(1,2,3,2)^T} 

,oder {(1,2,3,2)^T,(1,1,2,1)^T}

,oder {(2,-1,1,-1)^T (1,1,2,1)^T} 

!?

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Genau so ist es.