Exponentialfunktion Bevölkerungwachstum (Gemeinde mit 10.000 Menschen)

Question

Aufgabe:

Die Bevölkerung einer neu gegründeten Gemeinde wächst bzgl. der Anzahl der Menschen pro Jahr gemäß der Formel:

\( P^{\prime}(t)=t \cdot e^{\frac{t}{10}} \quad, 0 \leq t \leq 20 \)

wobei \( t \) die Anzahl der Jahre seit der Gründung beschreibt.

Bestimmen Sie die Größe der Bevölkerung \( P(t) \) nach \( t \) Jahren der Neugründung. Unterstellen Sie, dass 10.000 Menschen zum Zeitpunkt der Neugründung in der Gemeinde lebten.

Comments

Angegeben ist die Wachstumsgeschwindigkeit ( Menschen pro Jahr ) = 1.Ableitung
einer Funktion.

Es ist zunächst die Stammfunktion aufzustellen. Hier kann die partielle Integration
angewendet werden.

S ( t ) = ∫ P´( t ) dt

S ( t ) = 10·e^0.1·t·(t - 10) + c

Das Wachstum zwischen 0 und t ist

[ S ( t ) ] ₀ ^t
[  10·e^0.1·t·(t - 10) + c ] ₀ ^t

10·e^0.1·t·(t - 10) + c - ( 10·e^0.1·0·( 0 - 10) + c )
10·e^0.1·t·(t - 10)  - 10·e^0.1·0( 0 - 10)
W ( t ) = 10·e^0.1·t·( t - 10)  + 100
W ( 0 ) = 0

Da der Anfangszustand der Bevölkerung bei t = 0 gleich 10000 ist ergibt sich
für die Bevölkerung P ( t )

P ( t ) = W ( t ) + 10000
P ( t ) =  10·e^0.1·t·(t - 10)  + 10100

mfg Georg

Answer 1

P'(t) = t·e^{0.1·t}

P(t) = 10·e^{0.1·t}·(t - 10) + 10100

Comments

Kannst du mir bitte sagen, wie du auf diese Rechnung kommst? Ich verstehe das leider gar nicht.

---

Bestimme mal das unbestimmte Integral

P(t) = ∫ (t·e^{0.1·t}) dt

Was soviel heißt bestimme die Menge aller Stammfunktionen.

Kleiner Tipp. Produktintegration bzw. partielle Integration.

---

Kannst du mir vielleicht deinen lösungsweg schicken wo man sieht wie du es anwendest? Glaube so würde ich es besser verstehen

---

Schau dir ähnliche Aufgaben an und versuche das gelernte dann auf deine Aufgabe anzuwenden. Du hast ja schon eine Lösung. Mach dir die Mühe sie zu verstehen.

https://www.mathelounge.de/314039/partielle-integration-bei-%E2%88%AB-2x-1-e-x-dx-warum-und-dann

Wenn du wirklich Probleme hast dann melde dich noch mal. Aber probier es zunächst selber.