Ungleichung mit Potenzen x<y <=> a^x<a^y, a>1 und x,y€R. Kann mir jemand diesen Beweis zeigen?

Question

Hallo kann mir jemand
x<y <=> a^x<a^y

beweisen? Wobei a>1 und x,y Element der reellen Zahlen sind.

Answer 1

Betrachte  f(x) = a^x  = e^x*ln(a)     Dann ist  f ' (x) = ln(a) *e^x*ln(a)    und für a>1 ist ln(a)>0 und damit

f ' (x) > 0 für alle x aus IR,  also über IR streng monoton steigend , und das heißt

x <y  <==> f(x) < f(y)

oder eben

x<y <=> a^x<a^y