Relative Extremstellen von f(x)=x^4+3x^3+3x^2+x+1 mit Hilfe eines geeigneten Kriteriums berechnen

Question

sitze seit einer Stunde über folgender Aufgabe und bringe sie leider nicht zu Ende:

Es sollen die relativen Extremstellen von f(x) = x^4+3x^3+3x^2+x+1 mit Hilfe eines geeigneten Kriteriums berechnet werden.

Habe begonnen die 1. Ableitung zu bilden und gleich Null zu setzen:

f ' (x) = 4x^3+9x^2+6x+1 = 0

Dabei ergeben sich folgende Nullstellen: x= -1 und x=-0,25

Setze ich diese Nullstellen in die 2. Ableitung f '' (x)  = 12x^2+18x+6 ein, erhalte ich für x=-1 wieder das Ergebnis 0. Deshalb kann ein dort noch ein zweiter Hochpunkt oder ein Tiefpunkt bzw. ein Sattelpunkt vorliegen. Laut meinem Heft kann also mit der 2. Ableitung nicht fortgefahren werden, sondern es müssen weitere Untersuchungen gemacht werden. Welche das jedoch seien sollen ist nicht erklärt...

Würde mich sehr über einen kleinen Denkanstoß freuen.

 

Vielen Dank schon mal :-)

Answer 1

Am Einfachsten ist wohl hier Folgendes:

Du setzt in die x= -0.9 und x =-1.1 in die Funktionsgleichung ein und schaust, ob beide Male etwas Grösseres oder Kleineres als bei x=-1 rauskommt. Wenn ja: Rel. Extremum, wenn nein: nicht.

Answer 2

Es gibt mehrere Möglichkeiten, aber ich erkläre mal die einfachste (bei der auch am logischsten ist, warum sie funktioniert.)

Du berechnest einfach den Wert der Funktion für zwei Punkte, die relativ nah am zu untersuchenden Punkt liegt und für den Punkt selbst.

Möglich wären hier zum Beispiel -0.9 und -1.1

Wenn beide Werte kleiner sind, als der Wert am Punkt selbst, liegt ein Hochpunkt vor, wenn beide größer sind, liegt ein Tiefpunkt vor, ist einer größer und einer kleiner, dann handelt es sich um einen Sattelpunkt.

 

In diesem Fall erhält man:

f(-1) = 1

f(-0.9) = 0.9991

f(-1.1) = 1.0011

Es handelt sich also um einen Sattelpunkt.

Comments

Noch zwei andere Möglichkeiten:

1.) Du betrachtest das Verhalten der Funktion im Unendlichen. Da der höchste Exponent von x eine gerade Zahl ist, wird die Funktion sowohl für x gegen +∞ als auch für x gegen -∞ selbst gegen +∞ gehen.

Das heißt, es muss eine ungerade Anzahl von Extrempunkten geben, denn beim Extrempunkt wechselt die Funktion immer zwischen fallen und steigen - sie beginnt (wenn man mal von links guckt) als fallende Funktion und endet als steigende Funktion, also muss sie ihr Verhalten eine ungerade Anzahl mal wechseln.

Da du einen Extrempunkt bereits bestätigt hast, kann also x_E=-1 kein Extrempunkt mehr sein.

 

2.) Du berechnest weitere Ableitungen der Funktion.

Sind alle Ableitungen der Funktion 0, bis bei einem gewissen Grad n die Ableitung ungleich 0 ist, dann gibt es zwei Möglichkeiten:
n ist gerade: es liegt ein Extrempunkt vor.

n ist ungerade: es liegt ein Sattelpunkt vor.

Ein Beispiel:
f'(x_E) = 0 und f''(x_E) = 0. Wenn nun f'''(x_E) ≠ 0 ist, dann ist die erste nicht verschwindende Ableitung eine ungerade Zahl (nämlich drei). Also handelt es sich um einen Sattelpunkt.

Gilt f'(x_E) = f''(x_E) = f'''(x_E) = 0 und f''''(x_E) ≠ 0, dann liegt wieder ein Extremum vor. Und so geht das dann weiter.