a) k ist hierbei die gesuchte Sonnenscheindauer.
$$ P[\mu - k \leq X \leq \mu + k] \overset{!}{=} 0,9$$
$$ \Phi \left( \frac{( \mu + k) - \mu}{\sigma} \right) - \Phi \left( \frac{( \mu - k) - \mu}{\sigma} \right) = \Phi \left( \frac{k}{\sigma} \right) - \Phi \left(- \frac{k}{\sigma} \right) = 2\Phi \left( \frac{k}{\sigma} \right) -1 = 0.9 \Rightarrow \Phi \left( \frac{k}{\sigma} \right) = 0.95$$
Aus der Tabelle suchst du dir nun den z-Wert für den dieser 0.95 ergibt. Dieser lautet z = 1,645!
$$ 1,645 = \frac{k}{\sigma} = \frac{k}{258} \Leftrightarrow k = 424,41~h/Jahr$$
Das heißt in 90% aller Fälle, wird pro Jahr eine Sonnenscheindauer von $$ [\mu - k, \mu +k ] = [1927 - 424,41, 1927+424,41] = [1502,59h; 2351,41h] $$ erreicht.
Nun möchte man wissen, in wievielen Prozent der Jahre durchschnittlich weniger als 1650h die Sonne scheint.
$$ P(X < 1650) =\Phi \left( \frac{1650 - \mu}{\sigma} \right) = \Phi \left( \frac{1650 - 1927}{ 258 } \right) = \Phi (-1,07) \Rightarrow \Phi(-1,07) = 1- \Phi(1,07) = 1-0,8577 = 0,1423 = 14,23% $$
Das heißt der gekennzeichnete Bereich entspricht 14,23%, also scheint nur in 14,23% aller Jahre im Schnitt die Sonne weniger als 1650h/Jahr.
Ich hoffe ich konnte helfen,
liebe Grüße aus Graz!
