lineare Abbildung R^2 zu R^2 mit f_1 ((1;1)) = (1;0) und f_1((1;0)) = (0;1)

Question

sind meine gegebenen Abbildungen, ich muss zeigen ob es keine, eine oder mehrere lineare Abbildungen mit den angegebenen Eigenschaften gibt. Aus meinem Skript habe ich die folgende Vorlage:

Leider weiß ich nicht wie ich an die Aufgabe herangehen soll, da ich mir nicht sicher bin ob ich jetzt $$ \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix} $$ für v und/oder für v´ einsetzen soll oder ob ich für v $$\begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix} $$ und für v´ $$\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} $$, aber selbst dann wüsste ich nicht wie ich das Problem mit den Angaben durch den zweiten Vektor in f1 lösen soll.

Wäre schon super zufrieden, wenn mir jemand dieses "Rätsel" lösen kann, bin ziemlich aufgeschmissen.

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Weitere solche Aufgaben vgl. https://www.mathelounge.de/403708/bestimmen-sie-lineare-abbildungen-von-r-2-nach-r-2

Answer 1

Ich schreibe mal Zeilen statt Spalten zwecks einfacherem Tippen:

f ( x,y ) =  f ( y*(1;1) +  ( x-y) * (1 ;0 ) ) 

und jetzt kommt deine "Vorlage"

[ Das ist die Definition für eine lin. Abb. ]=   f ( y*(1;1) ) +  f (( x-y) * (1 ;0 ) ) 

= y*  f (1;1)  +    ( x - y ) * f  (1 ;0 )  

=  y * ( 1; 0 )  +   (  x -y ) * ( 0 ; 1 ) 

= (   y      ;    x-y   )  

Also ist für jedes Paar  ( x;y)  das Ergebnis von  f ( x;y)

durch die Vorgaben eindeutig bestimmt.

Es gibt also genau eine lin. Abb. mit diesen Vorgaben.

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Könntest du noch kurz erklären woher du weißt das du auf der rechten Seite x-y rechnen musst?

Answer 2

In den Spalten der Abbildungsmatrix stehen die Bildvektoren der Einheitsvektoren (1|0) und (0|1).

D.h. du weisst bereits dass in der ersten Spalte der Abbildungsmatrix (0 |1 ) [untereinander] stehen muss.

f( (0|1)) = f ( (1|1) ) - f ( (1|0)) = ( 1|0 ) - (0|1) = (1|-1).

In der zweiten Spalte der Abbildungsmatrix muss (1 |-1) stehen.

Damit ist die Abbildungsmatrix eindeutig bestimmt und, wenn eine Abbildungsmatrix gefunden werden kann, ist die Abbildung linear. (sollte irgendwo im Skript stehen, wenn du das verwenden möchtest) .

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Habe jetzt gerechnet:

$$ \begin{pmatrix} a b\\c d\\ \end{pmatrix} * $$  $$ \begin{pmatrix} 1\\1\\ \end{pmatrix} $$ = $$ \begin{pmatrix} 1 \\0\\ \end{pmatrix} $$

und 

$$ \begin{pmatrix} a b\\c d\\ \end{pmatrix} * $$  $$ \begin{pmatrix} 1\\0\\ \end{pmatrix} $$ = $$ \begin{pmatrix} 0 \\1\\ \end{pmatrix} $$

dann komme ich auf die Abbildungsmatrix:

Stimmt das so?

Und noch eine Anmerkung, wenn ich keine Abbildungsmatrix erstellen kann, ist die Abbildung ja nicht linear, ist das der Fall wenn ich anstatt einer Zahl eine Variable herausbekomme ?

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Du hast ein paar Rechnungen weggelassen aber dein Resultat stimmt mit meinem überein.

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Habe jetzt eine Aufgabe mit anstatt wie hier 2 Vektoren, mit 3 Vektoren.

Also werden bei mir 3 Vektoren eingesetzt und ich komme damit in der gleichen Abbildung auf 3 Punkte.

Wie mache ich es jetzt dafür?

Habe erst gedacht das ich es Analog mache, aber dann hätte ich in einer 2x3 Matrix a b c d e f und kann die nicht mehr lösen.

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Geht es um b) hier https://www.mathelounge.de/403708/bestimmen-sie-lineare-abbildungen-von-r-2-nach-r-2 ?

Dann nimm einfach mal die ersten beiden (linear unabhängigen) Vektoren. Bestimme die Matrix und schaue, ob die Matrix als Abbildungsmatrix beim 3. Vektor passt.

Wenn nicht, gibt es KEINE lineare Abbildung mit den geforderten Eigenschaften.