Wohldefiniertheit, Konvergenz und Grenzwert einer rekursiven Folge

Question

Eine Folge (xn)_n werde rekursiv definiert durch x₀ := 3, x_n+1 := (2/3) xn + 2/xn.Beweisen Sie die Wohldefiniertheit, die Konvergenz und bestimmen Sie den Grenzwert.Wie genau soll ich vorgehen, besonders zu Wohldefiniertheit, bin ich im Unklarem.

Comments

Zur Wohldefiniertheit: Hier sollst du konkret zeigen, dass deine Folge \(x_n\) auch tatsächlich für jedes \(n \in \mathbb{N}\) eindeutig definiert ist. Schau dir dazu die rekursive Definition an. Gibt es deiner Meinung nach Fälle (in Abhängigkeit des Wertes für \(x_n\)) in denen die rekursive Definition von \(x_{n+1}\) nicht eindeutig bzw. nicht anwendbar wäre?

Answer 1

Wohldefiniert heißt doch nur, dass durch die Vorgabe genau eine Folge definiert ist.

Weil das  xn im Nenner steht, musst du zeigen, dass nie xn = 0 vorkommt.

Denn dann wäre das nächste Folgenglied nicht definiert.