Beweise mit Folgenstetigkeit: f(x)=cos(1/(x²-1)) ist an den Stellen ±1 nicht stetig egal wie man f(1)...

Question

Zeige mit der Definition der Folgenstetigkeit, die Funktion f von ℝ\{±1} nach [-1,1] mit f(x)=cos(1/(x²-1)) ist an den Stellen ±1 nicht stetig egal wie man f(1) bzw. f(-1) festsetzt. Sie ist daher an diesen Stellen nicht stetig fortsetzbar.

Skizziere den Graphen von f. Was kann über das asymptotische Verhalten von f gesagt werden?

Die Definition ist doch:
Sei D⊆ℝ, ξ∈D und f:D→ℝ. Dann sind äquivalent:
1.) f ist stetig in ξ
2.) ist (x_n)_n≥1 eine Folge in D, die lim x_n=ξ (limes geht von x nach ξ) erfüllt, so gilt lim f(x_n)=f(ξ) (limes geht von x nach unendlich)

Answer 1

.

f(x)=cos(1/(x²-1)) ist an den Stellen ±1  nicht stetig egal wie man f(1) bzw. f(-1) festsetzt.

Betrachte die Folge  x_n = 1 / √ ( 1 + 1 / ( 2*n*pi) ) , die gegen 1 geht .

Dann ist f(x_n) =  1  für alle  n aus IN   , also müsste man um Stetigkeit bei 1 zu erreichen

definieren  f(1)=1 .

Aber wenn man  x_n = 1 / √ ( 1 + 1 / ( (2*n+1)*pi) ) , die auch gegen 1 geht , gibt es immerf(x_n) =  - 1. 

Also müsste man um Stetigkeit bei 1 zu erreichen definieren  f(1)= - 1 .Also geht es nicht .