Wie oft muß man würfeln, um zwei Sechsen zu würfeln?

Question

Wie oft muß man durchschnittlich würfeln, um zwei sechsen zu bekommen. Hierbei sollen die sechsen aber nicht notwendiger Weise hintereinander gewürfelt werden müsse.

Comments

Logisch sollte es eigentlich 12 mal (mit einem Würfel) sein. Weil im Schnitt jeder sechste Wurf eine 6 ist. Versuche das mal nachzuprüfen mit einem Baumdiagramm z.B. 

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Ob mit einem Würfel 2 mal
oder
mit 2 Würfeln 1 mal ist egal.

Wahrscheinlichkeit für eine sechs : 1/ 6
Wahrscheinlichkeit für die zweite  sechs : 1/ 6

Gesamtwahrscheinlichkeit
1 / 6 * 1/ 6 = 1 / 36

Von 36 Würfen ist einmal ( im Durchschnitt ) die
Kombination 6 und 6 gegeben.

mfg Georg

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@georgborn

 Hierbei sollen die sechsen aber nicht notwendiger Weise hintereinander gewürfelt werden müsse. 

Es geht also auch 6 1 2 3 4 5 6

Lu hat mit 12 Würfen schon recht. Leider fehlte die Begründung. Und das am Baumdiagramm zu zeigen dürfte auch etwas schwer fallen.

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Hallo mathecoach,

Wenn ich mit 2 Würfeln würfle gibt es 36 Möglichkeiten
für einen Wurf.
Die Kombination 6 / 6 ist eine davon.
Also beträgt die Wahrscheinlichkeit 1 zu 36.

Ich sehe momentan keinen Fehler in der Argumentation.

mfg Georg

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Ich sehe gerade die Frage ist doch eine andere.

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Ist die Frage
noch kein Wurf getätigt
es wird gewürfelt bis eine 2.Sechs erscheint
Wie oft muß durchschnittlich bis zu diesem
Ereignis gewürfelt werden ?

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Richtig. So lese ich das. 

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Zustand : noch nicht gewürfelt
Es braucht im Durchschnitt 3.5 Würfe bis zur 1. Sechs.
Es braucht dann im Durchschnitt 3.5 Würfe bis zur 2. Sechs.

Im Durchschnitt sind also 7 Würfe bis zur 2.Sechs notwendig ?

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Es braucht im Durchschnitt 3.5 Würfe bis zur 1. Sechs.

Dies ist nicht richtig.

Bei ca 3.5 Würfen ( exakt 3.816 Würfe ) ist die Wahrscheinlichkeit 50 %
das genau eine Sechs gewürfelt wurde.

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Hm. Wie will man 3.5 mal bzw. 3.816 mal würfeln ?

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(* Scherzmodus an *)
Hm. Wie will man 3.5 mal bzw.... mal würfeln ?
Man würfelt 3 mal und dann noch einmal 4 mal und
nimmt die Mitte.
(* Scherzmodus aus *)

Hauptaussage bei meinem Kommentar ist jedoch :
Die Überlegung von Lu ist richtig.
12 ist die durchschnittliche Wurfanzahl für 2 Sechsen.

Answer 1

Ich benutze eine Markow-Kette.

Zustand

a: Es wurde noch keine 6 gewürfelt.

b: Es wurde schon eine 6 gewürfelt.

c: Es wurden zwei 6en gewürfelt.

Gesucht ist die durchschnittliche Wurfanzahl um von a nach c zu gelangen.

a = 5/6 * (1 + a) + 1/6 * (1 + b)

b = 5/6 * (1 + b) + 1/6 * 1

Wir lösen das LGS und erhalten: a = 12 ∧ b = 6

Man braucht also im Schnitt 12 Würfe um 2 Sechsen zu werfen.

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Es geht auch schneller und einfacher mit der Formel für den Erwartungswert der Anzahl Sechsen bei n Würfen.

Bei n Würfen erwarte ich μ = n * p Sechsen. Forme ich das um brauche ich

n = μ / p Würfe für μ Sechsen

Setze ich ein

n = (2) / (1/6) = 12

Das ist der einfachste Weg um zu der 12 zu gelangen.

Comments

Hallo mathecoach,
hallo Lu,

Ist die Frage  :
wie groß ist der mittlere Abstand zwischen zwei 6 bei einer
Würfelserie / alternativ : Zufallszahlen eines Computers.

Ich habe also mein Turbo Pascal bemüht und ein Programm
geschrieben und 20000 Wurfserien erzeugt.
Der mittlere Abstand zwischen zwei Sechsen betrug ca 7

Steckt irgendwo ein Fehler ?

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Wenn du 60000 mal würfelst, wie viele Sechsen erwartest du dann im Mittel?

Und wenn du das dann hast kommt auf wie viele Würfe jeweils eine Sechs?

Und was bedeutet die Werbung in jedem siebten Ei. Wie viele Eier muss ich dann im Mittel kaufen um ein besonderes Ei zu bekommen?