Erzeugende Funktion, Erwartungswert und die Varianz (Stochastik)

Question

Hallo ! Kann jemand bei dieser Aufgabe mir helfen ? Vielen Dank !

Comments

Jemand Idee zu dieser Aufgabe ?

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leider komme ich auch nicht weiter

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Einen Hinweis zu der Aufgabe ?

Answer 1

Ich habe einen Vorschlag, bin mir allerdings ziemlich sicher, dass dieser nicht die gesuchte Lösung ist: ich wusste nicht genau, wie man die zwei Zufallsvariablen kombinieren soll: Ich habe einfach die Zufallsvariable der ankommenden Autos mit dem Erwartungswert der Personen pro Auto multipliziert.

$$X: \quad\text{Anz. der Autos, die in einer Stunde halten}\\Y: \quad\text{Anz. der Personen in einem haltenden Auto}\\[10pt]f^X(t)=e^{20(t-1)}\\f^Y(t)=\frac{1}{10}t^5+\frac{1}{10}t^4+\frac{2}{10}t^3+\frac{3}{10}t^2+\frac{3}{10}t\\[10pt]\text{E}(Y)=(f^Y)'(1)=\frac{12}{5}\\[10pt]Z=\frac{12}{5}\cdot X\\[10pt]f^Z(t)=f^{\frac{12}{5}\cdot X}(t)=f^{X}(t^{\frac{12}{5}})=e^{20(t^{12/5}-1)}\\\text{E}(Z)=(f^Z)'(1)=48\cdot 1^{\frac{7}{5}}e^{20(1^{12/5}-1)}=48\\$$

Soweit so gut: das ist der Erwartungswert, den man auch mit dem "normalen" Rechenweg E(X)*E(Y) rausbekommen hätte. Bei der Varianz bin ich mir dann weniger sicher, da ja die Streuung von Y nicht mehr berücksichtig wird (Y ist ja nur mit dem Erwartungswert in die Gleichung eingeflossen).

$$\text{Var}(Z)=(f^Z)''(1)+(f^Z)'(1)-[(f^Z)'(1)]^2=\frac{576}{5}$$

Hoffe es hilft trotz einiger Ungewissheiten weiter! Wenn du die richtige Lösung bekommen solltest, ware ich an dem richtigen Ansatz sehr interessiert  :)