Winkel und Untervektorraum und HNF (Hessesche Normalform)

Question

ich komm bei dieser Aufgabe nicht weiter:

Sobald ich Lösungen hab, poste ich sie. Also gleich mein Ergebnis zu , aber nur die Beträge, weil bei anweiß ich nicht weiter

B) wie bilde ich daraus die HNF?

c) was war ein Untervektorraum und wie beweise ich den und das gleiche für affiner Unterraum

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AB = (2 -Wurel2/2 -(-Wurzel2/2)  Wurel2/2 -(-Wurzel2/2 )

AC= (2 0 0)

BC= (0 Wurzel2 /2 + Wurzel 2/2  Wurzel2 /2 + Wurzel 2/2 )

Answer 1

Zu b) Zuerst die Parameterform bilden X=A+λ(A-B)+μ(A-C). Dann einen N Vektor suchen, der mit den beiden Richtungsvektoren der Parameterform das Skalarprodukt 0 hat. Mit diesem Vektor die Parameterform skalar durchmultiplizieren. Es entsteht X·N=a mit dem Normalenvektor N und der reellen Zahl a=A·N. Das wird die HNF, wenn man durch den Betrag von N dividiert.

Answer 2

Hallo like,

ich schreibe Vektor AB = AB ohne Pfeil unt Vektoren in Zeilenschreibweise:

AB = [2, - √2, - √2]  ,  AC = [2, 0, 0]

a)

cos(α) = cos(AB,AC) = AB * AC / ( |AB| * |AC| ) = 1/2

→  α = 60°

A_Δ = 1/2 * | AB x AC | =  1/2 * | [2, - √2, - √2] ⨯ [2, 0, 0] | = 1/2 * | [0, - 2·√2, 2·√2] | = 2

b)

Normalenvektor von E = \(\overrightarrow{n}\) = [0, - 2·√2, 2·√2] 

Normaleneinheitsvektor  \(\overrightarrow{n_0}\) = \(\overrightarrow{n}\) / |\(\overrightarrow{n}\)|  = [0, - √2/2, √2/2]

HNF von E:    \(\overrightarrow{n_0}\) * \(\overrightarrow{x}\) - \(\overrightarrow{n_0}\) * \(\overrightarrow{a}\)  =  0

                         [0, - √2/2, √2/2]  *  \(\overrightarrow{x}\)  -  [0, - √2/2, √2/2]  *  [0, √2/2, √2/2]  =  0

                         [0, - √2/2, √2/2]  * \(\overrightarrow{x}\) =  0       

c)

Da E den Nullvektor enthält, ist E ein Untervektorraum von ℝ³   

  Gruß Wolfgang