Sei f aus Hom(V,W) .
Dann ist auch - f := (-1) * f aus Hom ( V,W ) und es gilt :
f + ( -f) = 0-Abbildung = neutrales Element der Add. in Hom(V,W).
Denn f + ( -f) = 0-Abbildung zeigt man dadurch, dass für alle v aus V gilt
( f + (- f )) (v) = 0-Abbildung ( v)
und (f + ( -f) ) ( v) = f(v) + (-f) (v) wegen der punktweisen Def.
und das ist
= f(v) + (-f) (v) also nach Def. von - f
= f(v) + (-1) *f (v) nach Distributiv.ges.
= ( 1 + (-1) ) * f(v) Rechnen in K
= 0 * f(v) weil W Vektorraum ist
= 0-Vektor von WAndererseits ist 0-Abbildung ( v) = 0-Vektor von W nach
Def. der 0-Abb.
Also gilt f + ( -f) = 0-Abbildung .
Entsprechend zeigst du
0-Abbildung = f + ( -f ) und bist fertig.