Question

Wie zeigt man, dass es zu jeder Abbildung f eine Abb. g gibt, so dass 

f + g = 0 - Abbildung   und   g+f = 0-Abb. gilt?

Comments

Wie ist das "+"-Zeichen zwischen Abbildungen definiert?

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 Zeifen die Existent additiver onverser

Answer 1

Sei f aus Hom(V,W) . 

Dann ist auch - f  :=  (-1) * f  aus Hom ( V,W ) und es gilt :

f + ( -f) = 0-Abbildung = neutrales Element der Add. in Hom(V,W).

Denn  f + ( -f) = 0-Abbildung zeigt man dadurch, dass für alle v aus V gilt

( f  + (- f )) (v)  =  0-Abbildung ( v) 

und (f + ( -f) ) ( v) = f(v) + (-f) (v) wegen der punktweisen Def.

und das ist

=  f(v) + (-f) (v)   also nach Def. von - f

=  f(v) +  (-1) *f (v)   nach Distributiv.ges.

=  ( 1 + (-1) ) *  f(v)  Rechnen in K

= 0 * f(v)   weil W Vektorraum ist

= 0-Vektor von WAndererseits ist   0-Abbildung ( v)   =   0-Vektor von W  nach

Def. der 0-Abb.  

Also gilt     f + ( -f) = 0-Abbildung . 

Entsprechend zeigst du 

0-Abbildung = f + ( -f )    und bist fertig.