Berechnen Sie die folgenden Integrale Hilfe!

Question

⁴∫_-4Ι3-ΙxΙΙalso ⁴∫_-4 betrag(3-betrag(x))mein Taschenrechner gibt das Ergebnis 10Meine Rechnung das Ergebnis 8und der Online Rechner 0Bitte um Hilfe mit Rechenweg 

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$$\text{Tipp: }\int_{-4}^4\big\vert3-\vert x\vert\big\vert\,\mathrm dx=2\left(\int_0^3(3-x)\,\mathrm dx+\int_3^4(x-3)\,\mathrm dx\right).$$

Answer 1

zum Berechnen des Integrals löst man zuerst die Beträge auf

[ |Term| = Term für Term ≥0 ;  |Term| = - Term für Term < 0 ]

f(x) = | 3 - |x| |  =  (  |  3 - x   |   für  x≥0

                              (  | -3 + x |   für   x<0

=  (   - x + 3      für   0 ≤ x ≤ 3

    (    x  - 3       für    x ≥ 3

    (    x + 3       für   -3 < x < 0

    (   - x - 3      für   x < - 3

            _-4∫⁴  f(x)  dx  =   _-4∫^-3  f(x) dx  + _-3∫⁰  f(x) dx  + ₀∫³  f(x) dx  +  ₃∫⁴  f(x) dx  = ... = 10   [ Edit statt 13]

Das ist die Standardmethode bei Integranden mit Betrag. Wenn man sich Gedanken über Achsensymmetrie macht, kommt man hier auch mit 2 Integralen aus.

Gruß Wolfgang

Comments

Sicher, dass 13 stimmt?

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nein, habe ich Graph die Dreiecke falsch gezählt :-). Danke für den Hinweis.  Werde es korrigieren.

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10 sollte stimmen

https://www.wolframalpha.com/input/?i=integral_-4%5E4+(%7C3-%7Cx%7C%7C)&t=crmtb01

Man kann das auch ganz einfach über die Flächeninhalte von Dreiecken lösen.