Wie erhalte ich den Wert für cos(4π/3)?

Question

irgendwie habe ich ein Brett vorm Kopf. Gefragt ist der Wert für cos(4π/3)

Ich weiß, dass ich mich im dritten Quadranten befinde, also entsprechend negative Werte für die x- und y-Koordinate bzw. cos(θ) und sin(θ) am Einheitskreis notieren muss. Die drei Winkel betragen folglich:

π/2,
π/3 und
π/6.

Ich kenne H(ypotenuse) = 1 und muss nur noch die Gleichung A = √(1-G²) lösen bzw. dies analog für G(egenkathete), wenn ich die selbe Aufgabe für Sinus berechnen möchte. Wie mache ich das?

Answer 1

Der Winkel \(4\pi/3\) bildet mit dem negativen Teil der X-Achse im Einheitskreis einen Winkel von \(\pi/3\), was 60° entspricht - Winkel zwischen blauer und roter Linie im Bild unten. Daher ist das grüne schattierte Dreieck ein gleichseitiges.

Die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks (hellblau) teilt die Grundseite in der Mitte. Also ist der $$\cos \frac{4\pi}{3}=-\frac{1}{2}$$ (die rote Strecke) und der Sinus ist die Höhe (hellblau) im gleichseitigen Dreieck - also $$\sin \frac{4\pi}{3}=-\sqrt{1^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2}=-\frac{1}{2}\sqrt{3}$$

Gruß Werner

Comments

Warum ist das Dreieck "wegen" dem 60 Grad-Winkel gleichseitig? Man kann doch so ein gleichseitiges Dreieck auch bei anderen Winkeln konstruieren.

Woher weißt Du, dass das gleichseitige Dreieck die Grundseite in der Mitte teilt?

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Upps - die Frage hätte ich nicht erwartet. Als Antwortender weiß ich ja nie, von welchem Wissensstand man ausgehen kann.

Um genau zu sein ist das Dreieck immer(!) gleichschenklig, was ja der Radius des Einheitskreises schon vorgibt. Der Scheitel liegt im Ursprung. Auf Grund der Tatsache, dass die Winkelsumme im Dreieck immer =180° ist, berechnen sich die Basiswinkel \(\beta\) eines gleichschenkligen Dreiecks aus $$2 \beta + \phi = 180° \quad \Rightarrow \beta = 90°-\frac{\phi}{2}$$ wenn \(\phi\) der Scheitelwinkel ist. Und damit sind auch die Basiswinkel =60°, wenn der Scheitelwinkel =60° ist. Dann kann das Dreieck nur ein gleichseitiges sein.

In einem gleichseitigen Dreieck fallen Höhen, Seiten- und Winkelhalbierende zusammen. Daher teilt die Höhe die Grundseite in zwei gleiche Hälften. Das folgt auch schon aus der Symmetrie des Dreiecks.

Gruß Werner

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Woher wissen wir die Länge der roten Linie? (EDIT: Siehe mein Kommentar oben. Die Frage ist also, wie können wir die Länge heraus bekommen ohne das Wissen von dem Zusammenhang eines gleichseitigen Dreiecks und einem 60 Grad-Winkel.)

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Ich nehme mal an, Deine Frage läuft darauf hinaus, wie man grundsätzlich die Sinus- und Cosinus-Werte beliebiger Winkel bestimmt. Streng genommen ist das exakt gar nicht möglich. Aber es gibt gute Näherungsverfahren. Das bekannteste ist schlicht die Taylorreihe der beiden Funktionen. Siehe auch diesen Beitrag.

Für einige rationale Vielfache von \(\pi\) gibt es auch exakte Lösungen im reellen, wie z.B. für \(\pi/6\), \(\pi/4\) und ihre ganzzahligen Vielfache. Diese Lösungen beruhen auf der Dreiecksgeometrie wie hier dargestellt.

Gruß Werner

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Ja, genau, das meine ich, Danke, klingt interessant! Die Taylorreihe kann ich anwenden, die Herleitung kenne ich nicht, aber darum soll's direkt ja auch nicht gehen. Ich schaue mir das mal an!

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Aber wenn ich die Taylorreihe an einem Punkt mache, wo wir die Sinus-Werte nicht berechnen können ("Streng genommen ist das exakt gar nicht möglich."), dann drehen wir uns doch im Kreis? Also ich sehe momentan nicht, inwiefern die Taylorreihe hier relevant wäre, mich interessiert einfach nur, wie man für einen beliebigen Winkel oder beliebige Seitenlängenverhältnisse im Dreieck den entsprechenden Sinus-Wert berechnen kann… :/

Answer 2

4/3*π = 240° = 180° + 60°

Also 

cos(4/3*π) = cos(180° + 60°) = -cos(60°) = -0.5

Comments

Danke, aber woher kennst Du den Wert für cos(60°) ?

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die Werte für 0, 30, 45, 60 und 90 Grad darf man ruhig kennen. Als Student mussten wir die sogar auswendig können.

Answer 3

Eine weitere Möglichkeit besteht darin , das mittels Additionstheorem zu berechnen.

(falls behandelt)

Comments

Kenne ich, auch ein interessanter Ansatz (sind ja alle unterschiedlich in den Antworten hier) - gerade weil man sich dann weniger mit den Quadranten abplagen muss. Allerdings bleibt mir dann nach wie vor die Frage, wie man auf den Sinus- bzw. Kosinus-Wert für π/3 kommen soll... :/

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Wir mußten die damals auswendig wissen  :)

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nach \(\pi/3\) hast Du oben nicht gefragt. Geht aber genauso

Der blaue Winkel ist \(\pi/3\) also 60°. Das Dreieck ist ein gleichseitiges und entsprechend ist $$\sin \frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\sqrt{3} \quad \cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$$ Gruß Werner

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Achso, Du leitest diese Erkenntnisse über die Seitenhalbierende also aus dem Wissen von dem Zusammenhang eines 60 Grad-Winkels und einem gleichseitigen Dreieck ab? Das wäre hier ja jetzt Zufall, dass das so gut funktioniert. Wie würdest Du sonst darauf kommen, wie groß die Seite auf der x-Achse ist?