Segelflugzeug - Flugphase

Question

Ich habe eine Frage zu Mathe :)

Eine Aufgabe von mir ist es, einen Lernplan zu machen. Allerdings komme ich nicht weiter.

Die Aufgabe lautet

Die Flughöhe eines Segelflugzeugs in einer zweistündigen Flugphase wird durch die Funktion

h (t) = 1/1000 (t hoch 3 - 180 t hoch 2 + 6000 t) + 400

modeliert (t in Minuten, h (t) in Metern).

a) Berechnen Sie die in dieser Flugphase erreichte gröte bzw. geringste Höhe

b) Zu welchem Zeitpunkt hat das Flugzeug den größten Höhenverlust?

c) Wie groß ist der durchschnittliche Höhengewinn in den ersten 10 Minuten?

d) In welchem Zeitpunkt beträgt die momentane Höhenänderung 27 m pro min.?

Es wäre echt nett, wenn ihr mir helfen könntet.

Dankeschön

Answer 1

a) Die größte und geringste Höhe in dieser Flugphase sind die beiden Extrempunkte der kubische Gleichung. Um sie zu bestimmen, leitet man die Funktion ab. Aus $$h(t)=\frac{1}{1000}t^3 - 0,18 t^2 + 6t + 400$$ wird $$\frac{\delta h(t)}{\delta t}=\frac{3}{1000}t^2 - 0,36 t + 6$$ Nullsetzen und Mitternachtsformel anwenden ergibt $$t_{1,2}=\frac{0,36 \pm \sqrt{0,1296 - 4\cdot \frac{3}{1000} \cdot 6}}{\frac{6}{1000}}= 60 \pm 40$$ Die beiden Extremwerte liegen bei \(t_1=20\) und \(t_2=\text{100}\). Die zweite Ableitung von \(h(t)\) ist für \(t_1\lt0\), also ist das der höchste Punkt und \(t_2\) der geringste. Einsetzen in \(h(t)\) ergibt: $$h(t_1)=456$$ für die höchste Höhe und $$h(t_2)=200$$ für die geringsten Höhe.

b) Die Höhenänderung ist die Ableitung der Funktion. Um die höchste Höhenänderung zu berechnen, muss diese ein weiteres mal abgeleitet werden $$\frac{\delta^2h(t)}{{\delta t}^2}=\frac{6}{1000}t-0,36$$ nach Nullsetzen erhält man den Wert \(t=60\) für den Zeitpunkt des höchsten Höhenverlust. Die vertikale Geschwindigkeit beträgt hier \(\frac{\delta h(t=60)}{\delta t}=-4,8\).

c) Das Flugzeug steigt in den ersten 10min von 400 auf \(h(t=10)=443\). Also ist die durchschnittliche Steiggeschwindigkeit (der Höhengewinn pro Zeit) $$=\frac{43\text{m}}{10\text{min}}=4,3\frac{\text{m}}{\text{min}}$$

d) die Frage reduziert sich darauf, wann die Steigung der Funktion =27 ist. Aus $$\frac{\delta h(t_{27})}{\delta t}=\frac{3}{1000}t_{27}^2 - 0,36 t_{27} + 6=27$$ folgt \(t_{27}\approx 163\). Die zweite Lösung liegt im negativen Bereich und entfällt somit.

Gruß Werner

Comments

Wie der Coach schon angemerkt hat ist die Lösung bei d) außerhalb des definitionsbereichs.

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Das ist korrekt. Das 'zweistündig' habe ich großzügig überlesen.

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Das heißt, dass die momentane Höheanderung beträgt 2.7m/min in der 163 Minute? Lg

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Berechnet: Ja.

Aber der Flug dauert nur 120 Minuten.

D.h. es gibt einen Fehler in der Fragestellung. Kontrolliere diese mal ganz genau und melde, falls du einen Druckfehler siehst.

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???

2.7m/min in der 163 Minute?

Nein.

In der Fragestellung steht fälschlicherweise 27 m/min.

D.h. du hast den Druckfehler wohl bereits gefunden.

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Dann wurde aber der Ergebnis anders lauten.

0,003t^2-0.36t+6=2.7          / 0.003

t^2-120t+2000=900

t^2-120t+1100=0

JJetz p-q Formel einsetzen

-(-120)/2 +- √(-120/2)^2-1100

x1=110      x2=10

Das würde dann bedeuten,dass die momrntane Höhenanderung beträgt 2.7 m/min in der 10 und 110 minute, richtig?

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Dann wurde aber der Ergebnis anders lauten.

Natürlich :) Deine Rechnung liefert plausiblere Resultate.

Answer 2

a) Berechnen Sie die in dieser Flugphase erreichte größte bzw. geringste Höhe

h'(t) = 0.003·t^2 - 0.36·t + 6

Hochpunkt h'(t) = 0

0.003·t^2 - 0.36·t + 6 = 0 --> t = 100 min ∨ t = 20 min

h(0) = 400 m

h(20) = 456 m --> Höchste Flughöhe

h(100) = 200 m

h(120) = 256 m --> Niedrigste Flughöhe

b) Zu welchem Zeitpunkt hat das Flugzeug den größten Höhenverlust?

h''(t) = 0.006·t - 0.36

Wendepunkt h''(t) = 0

0.006·t - 0.36 = 0 --> t = 60 min

c) Wie groß ist der durchschnittliche Höhengewinn in den ersten 10 Minuten?

m = (h(10) - h(0)) / (10 - a) = 4.3 m/min

d) In welchem Zeitpunkt beträgt die momentane Höhenänderung 27 m pro min.?

h'(t) = 0.003·t^2 - 0.36·t + 6 = 27 --> t = -42.95630141 ∨ t = 162.9563014

Beide Werte sind allerdings nicht im Definitionsbereich.

h'(t) = 0.003·t^2 - 0.36·t + 6 = -27 --> Hier gibt es gar keine Lösung.