Relationen (Komplexe Zahlen)

Question

Hallo

Zwei komplexe Zahlen stehen in Relation (z,w), falls |z| <= |w|

Zuüberprüfunen (reflexiv, irreflexiv, symmetrisch, antisymmetrisch, asymmetrisch, transitiv, strikte ordnung, lineare ordnung, partielle ordnung)

Reflexiv: ja, da x = x immer gilt 

irreflexiv:  nein, da x=x

symmetrisch: wenn x~y => y~x, nur wenn x=y, ja

antisymmetrisch: wenn x~y und y~x => x=y  gilt siehe symmetrisch

asymmetrisch:  wenn x~y dann darf nicht y~x,  wenn x = y ist wäre es möglich, ergo nein

transitiv: wenn x ~y, y~z => x~z, JA

strikte ordnung: == asymmetrisch, transitiv, JA

lineare ordnung == ?

partielle ordnung == ? 

Habe ich soweit recht? Wie bestimmt man ob die Relation eine lineare / partielle Ordnung ist?

Schönes Wochenende

Comments

"symmetrisch: wenn x~y => y~x, nur wenn x=y," Also im Allgemeinen nicht ! Ein Gegenbeispiel genügt, um symmetrisch zu widerlegen. Bsp. |i| ≤ |-2| aber |-2| nicht ≤ |i|  ! 

Answer 1

Reflexiv: ja, da x = x immer gilt  besser vielleicht:  Für alle x gilt  |x| ≤ |x|

irreflexiv:  nein, da x=x FALSCH!   irreflexiv wäre es, wenn |x|≤ |x|  immer falsch wäre.
                  
dem ist aber nicht so.

symmetrisch: wenn x~y => y~x, nur wenn x=y,      s. Kommentar

antisymmetrisch: wenn x~y und y~x => x=y  gilt siehe symmetrisch


falsch es ist z.B.   |1+i| = | 1-i < also gilt  sowohl


1+i in Rel. zu 1-i  als auch  1-i in Rel. zu 1+i  aber 1+i ≠ 1 - i


also nicht antisymmetrisch

asymmetrisch:  wenn x~y dann darf nicht y~x,  wenn x = y ist wäre es möglich, ergo nein

transitiv: wenn x ~y, y~z => x~z, JA

strikte ordnung: == asymmetrisch, transitiv,   Nein, ist ja nicht asymmetrisch

lineare ordnung == ?  nicht erfüllt, da nicht antisymmetrischsiehe:https://de.wikipedia.org/wiki/Ordnungsrelation#Totalordnung

partielle ordnung == ? 


ist erfüllt, siehe


https://de.wikipedia.org/wiki/Ordnungsrelation#Halbordnung

Comments

danke schonmal,

wie ist totalität zu verstehen?

x~y oder y~x 

? heißt das nur das alle elemente sortierbar sind? 

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sagen wir mal lieber:  vergleichbarEs gibt also keine, bei denen nicht wenigstens

eins von beiden gilt   a ~ b  oder  b ~ a .

Nicht total ist zum Beispiel die Rel auf den

ganzen Zahlen, bei der man definiert  a ~ b <=>  a ist Teiler von bDas ist zwar reflexiv , antisymmetrisch und transitiv abernicht total, weil z.B. bei 2 und 5 weder  2 Teiler von 5

noch 5 Teiler von 2 ist. Es gibt dann so mehrere geordnete Ketten wie2 ~ 6 ~ 12 ~  120 ~ ..... aber nicht wie auf dem Zahlenstrahl sozusagen

alles hintereinander.

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danke :) 

aber symmetrisch war nur meine erklärung falsch oder? generell herrscht keine symmetrie, da nicht immer x~y => y~x gilt oder? 

+ du hast geschrieben es wäre eine halbordnung, aber auch, dass keine antisymmetrisch herrscht