Vektorraum, Ableitung und Matrix...

Question

Sei V der Vektorraum der Polynome über ℝ von Grad ≤ 3. Die Abbildung D : V → V sei der aus der Schule bekannte Ableitungsoperator. D(f) ist also einfach die Ableitung des Polynoms f.                         
(a) Zeigen Sie, dass D linear ist.                              (b) Wie lautet die Matrix A_D,B,B, wenn B die Basis (X³,X²,X,1) von V ist?

Answer 1

Zu a)

Eine  Abbildung ist linear,  wenn sie homogen und Additiv ist.

Also müssen wir prüfen,  ob gilt :

D(a * f) = a * D(f)

und

D( f+g)  = D(f)  + D (g)

Wobei a eine reelle Zahl ist und f, g aus  V stammen.

Das lässt sich mit den Ableitungregeln zeigen.

Notfalls könnte man sich auch einfach allgemeine Polynome 1. 2. Und 3. gerades nehmen und dies zeigen.  Dies würde funktionieren,  da wir somit den kompletten Vektorraum abdecken.

Comments

Mit dieser Schreibweise der Matrix A kann ich gerade nichts anfangen.