summe k=0 bis n von 1/k! <3 : induktionsbeweis

Question

es geht um die Aufgabe i:

Den Induktionsanfang konnte ich natürlich zeigen, auch die Summe auseinanderziehen ist kein Problem.

Woran es scheitert ist das Anwenden der Induktionsvoraussetzung.

Hier bräuchte ich ein wenig Hilfe!

Answer 1

Hi,
$$ \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} \le 1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6} + \sum_{k=4}^n \left( \frac{1}{2} \right)^k \\= \frac{8}{3} + \frac{1 - \left( \frac{1}{2} \right)^{n+1}}{1-\frac{1}{2}} - \left( 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8} \right) \\= \frac{8}{3} - \frac{15}{8} + 2 - \left( \frac{1}{2}  \right)^n = \frac{67}{24}  - \left( \frac{1}{2}  \right)^n $$

Comments

Ist man damit jetzt fertig?

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Ja klar, wenn Du jeden Schritt verstanden hast. Der letzte Term ist ja definitiv kleiner als 3, sogar kleiner als \( \frac{67}{24}= 2.792  \)

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Wie kommst du in Zeile 2 auf summe (1/2)^k?

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Das ist die gegebene Abschätzung für die Fakultät.

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Ok . Kannst du noch den Übergang von Zeile 2 zu Zeile 3 erklären?

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Das ist die Anwendung der Formel für die geometrische Reihe. Da die aber mit Index \( 0 \) anfängt, müssen die ersten 4 Terme wieder abgezogen werden. Also die mit Index \( 0 \) bis \( 3 \). Dann alles ausrechnen.