Wie führt man eine Kurvenuntersuchung durch? f(x) = e^0,5x und g(x) = e^{1,5-0,25x

Question

Gegeben sind die Funktionen f (x)= e ^0,5x und g(x)=e^1,5 ^-0,25x

a) Skizzieren sie die Graphen von f und g in einem Koordinatensystem für -2<x<4.

b) Bestimmen sie die Ableitungen von f strich und g strich.

c) Wo schneiden sich die beiden Funtionsgraphen? Wie groß ist ihr Schnittwinkel?

d) Eine Ursprungsgerade h berührt den Graphen von f als Tangente. Wo liegt der Berührungspunkt von f und h? Wie lautet die Gleichung von h?

e) Wie groß ist die Fläche A, welche von f und g und der y-Achse umschlossen wird?

Comments

g(x)=e^1,5 ^-0,25x

wie heißt die Funktion

e hoch ( 1.5^{-0.25x} ) ?

Answer 1

Gegeben sind die Funktionen \(f (x)=e^{0,5x}\) und \(g(x)=e^{1,5-0,25x} \)
b) Bestimmen sie die Ableitungen von f und g.

\(f' (x)=e^{0,5x}\cdot 0,5\)
\(g' (x)=e^{1,5-0,25x}\cdot (-0,25)\)

c) Wo schneiden sich die beiden Funktionsgraphen? Wie groß ist ihr Schnittwinkel?

\(e^{0,5x}=e^{1,5-0,25x} \)  Gleichsetzen der Exponenten:
\(0,5x=1,5-0,25x \)
\(x=2 \)    \(f (2)=e^{1}=e≈2,72\)  B\((\red {2}|e)\)
\(f' (2)=0,5e=m_1\)
\(g' (2)=e^{1,5-0,5}\cdot (-0,25)=-0,25e=m_2\)
\( \tan(α) = | \frac{m_2-m_1}{1+m_1m_2} | =| \frac{-0,25-0,5e}{1+0,5e\cdot(-0,25e)} |\\=| \frac{-0,25-0,5e}{1-\frac{1}{8}e^2} |\\≈|-21,41|=21,41\)
\(α=\tan^{-1}(21,41)≈87,85°\)

d) Eine Ursprungsgerade h berührt den Graphen von f als Tangente. Wo liegt der Berührungspunkt von f und h? Wie lautet die Gleichung von h?

\(p(x)=m(x) \cdot x\)    mit  \(m(x)=f' (x)=e^{0,5x}\cdot 0,5\)

\(p(x)=e^{0,5x}\cdot 0,5 x\) Diese Funktion schneidet \( f(x)\) im Berührpunkt:

\(e^{0,5x}=e^{0,5x}\cdot 0,5 x\)

\(e^{0,5x}-e^{0,5x}\cdot 0,5 x=0\)

\(e^{0,5x}(1-0,5 x)=0\)  mit \(e^{0,5x}≠0\)

Berührpunkt:  \(x=2\)      \(f (2)=e\)

Tangente:

\( \frac{y}{x}=f' (2)=0,5e \)

\( h(x)=0,5e x \)

e) Wie groß ist die Fläche A, welche von f und g und der y-Achse umschlossen wird?

to be continued

Comments

Ob g(x) so lautet ist unklar. Im Text steht etwas anderes.

Der Winkel ist ungenau gerundet.

Nach …schneidet f(x) im Berührpunkt… kann man sich zwei Umformungen sparen um x=2 zu berechnen.

P(x) soll doch eine Tangente, also insbesondere eine Gerade sein? Sieht aber nicht so aus in dem Diagramm. Du hast die Bezeichnung doppelt verwandt. Ist p(x) nun h(x) oder was?

PS. Wenn Du schon Englisch schreibst, dann heißt es korrekt: ‚to be continued‘.

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\(p(x)=e^{0,5x}\cdot 0,5 x\) ist nicht \(h(x)=0,5 e x\)

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Da drüber steht p(x) = mx

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\(p(x)\) wird benötigt, um den Berührpunkt der aufzustellenden Tangente an \((f(x)\) zu finden. Das ist klar in der Zeichnung zu sehen.

Was den Winkel betrifft, da habe ich mich verschrieben.Ist jetzt verbessert (übernommen von GeoGebra, weil Wolfram nicht funktioniert)

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Jetzt wird es absurdes Theater…

p(x) = mx

Ist eindeutig eine Geradengleichung durch den Ursprung mit der Steigung m, wie Du es selber weiter oben auch genutzt hast.

Das mindeste wäre p(x)=m(x)*x zuschreiben, damit deutlich wird dass entgegen jeder Konvention m keine Konstante ist.

Aber deine ‚Hilfsfunktion‘ ist nicht nur völlig irreführend sondern auch komplett unnötig. Man kann die Tangente h(x) sofort mit den bestehenden Angaben berechnen und braucht diese unverständliche und unnötige Fummelei nicht.

Bist Du eigentlich ‚Autodidakt‘?

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Ich war lange Zeit Lehrer an einer Grundschule und hatte somit inclusive Abitur und PH Studium keine Berührung mit universitärer Mathematik. Daher kommen wahrscheinlich meine Ungenauigkeiten in der Notation.

Man kann die Tangente h(x) sofort mit den bestehenden Angaben berechnen und braucht diese unverständliche und unnötige Fummelei nicht.

Das ist mir jetzt aber nicht klar, da die Tangente durch den Schnittpunkt beider Funktionen nicht unbedingt durch den Ursprung gehen muss.

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Ich glaube, es sind nicht so sehr (bzw. nicht nur)  die Ungenauigkeiten in der Notation, die hier zu den häufigen Kommentaren führen, sondern die häufig recht undurchsichtigen und nicht erläuterten Lösungsansätze.

Und dies, weil kaum ein Schüler Deinen verschlungenen Gedankengängen wird folgen können und es eigentlich auch nicht soll.

Hier z.B. die Tangente. Der übliche Ansatz ist, die beiden Bedingungen aufzuschreiben, die die gesuchte Ursprungsgerade h(x) = mx erfüllen soll und daraus m und den Berührpunkt zu bestimmen.

Statt dessen fällt eine Hilfsfunktion vom Himmel. Warum gerade diese Funktion und warum dieser Trick mit der Hilfsfunktion überhaupt funktioniert wird nicht begründet (bis auf eine lapidare Skizze).

Mein Tipp wäre daher, sich die Lösungen von anderen mal in Ruhe anzusehen.

Anderes Beispiel: die Aufgabe mit der Betragsungleichung. Hier ersetzt Du den Betrag durch Wurzel aus einem Quadrat. Das soll kein Schüler so machen. Hier wird normalerweise einfach der Betrag per Fallunterscheidung aufgelöst, anstatt aus einer linearen Ungleichung eine komplexere quadratische zu machen.

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h(x) ist eine Ursprungsgerade und hat somit die Form h(x) = mx

Welche beiden Bedingungen muß h(x) nun erfüllen?

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Ich nehme mal ein anderes Beispiel:

Ursprungstangente an

\(\green{f(x)=\frac{1}{2}x^2+2}\)

\(f'(x)=x\)

\(\frac{y-0}{x-0}=x\)

\(\red {y=x^2}\)   Diese Parabel nun mit  \(f(x)=\frac{1}{2}x^2+2\) schneiden:

\(x^2=\frac{1}{2}x^2+2\) 

\(\frac{1}{2}x^2=2\)

\(x_1=2\)  →  \(f(2)=\frac{1}{2}\cdot 4+2=4\)

\(x_2=-2\)  →  \(f(-2)=\frac{1}{2}\cdot 4+2=4\)

 \(f'(2)=2\)    \(f'(-2)=-2\)

1.Tangente:

y=2x

2.Tangente:

\(\orange{y=-2x}\)

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Das macht es nicht besser.

Nochmal, gegeben sei eine (differenzierbare) Funktion f(x) und gesucht ist die Tangente g(x)= mx + c an den Graphen von f(x) im Punkt x₀.

Dann gelten immer zwei Bedingungen, mit denen ich die Tangente (also die Parameter m und c) bestimmen kann.

I) f(x₀) = g(x₀)

II) f‘(x₀) = g‘(x₀)

Zwei Gleichungen für zwei Unbekannte. Mehr ist nicht nötig, man braucht keine neu eingeführte Hilfsfunktion.

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Das macht es nicht besser.

Ist aber auch möglich.

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Bist Du eigentlich ‚Autodidakt‘?

Nein, er war kein Fahrlehrer.

Er war

... lange Zeit Lehrer an einer Grundschule

Hoffentlich nur für Musik und Werken. Die Anforderungen für Grundschullehrer im Studium sind höher als das, was M. hier mathematisch abzuliefern in der Lage ist.

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@Jumanji: zur Verteidigung von Moliets: da er oft Fragen beantwortet, die schon beantwortet wurden, nutzt er gerne einen völlig anderen Ansatz, den eigentlich niemand nutzen würde. In fast allen Fällen in dieser Ansatz deutlich umständlicher. Ansonsten stimme ich der Kritik zu.

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@ Jumanji:

mit denen ich die Tangente (also die Parameter m und c) bestimmen kann.

Bei der letzten Aufgabe geht es darum, m und x_0 zu bestimmen. c=0 ist vorgegeben. Die Berührstelle ergibt sich dann aus

$$f(x_0)=f'(x_0)x_0$$

Das hat Moliets gemacht - er hat es allerdings nicht erklärt.

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Na klar, ist aber egal für den Lösungsansatz. Zwei Unbekannte, zwei Bedingungen.

Die Vorgehensweise ist identisch, keine neue Idee erforderlich.

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@Julius: Hast du auch nur im entferntesten Ahnung, was grundständig ausgebildete Grundschullehrer und Grundschullehrerinnen an durchaus anspruchsvoller Mathematik alles beherrschen müssen?

Da würden viele aus Personalnot angeheuerte Hilfskräfte kläglich scheitern.

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Hoffentlich nur für Musik und Werken.

Naja, Musiklehrer und Werken dürfen auch nicht unterschätzt werden, es sind ja nicht alle Profi Mathematiker wie du.

Answer 2

a) Skizzieren Sie die Graphen von f und g in einem Koordinatensystem für -2 ≤ x ≤ 4.



b) Bestimmen Sie die Ableitungen von f und g.

f'(x) = 0.5·e^(0.5·x)
g'(x) = -0.25·e^(1.5 - 0.25·x)

c) Wo schneiden sich die beiden Funktionsgraphen? Wie groß ist ihr Schnittwinkel?

f(x) = g(x) → x = 2

f(2) = e → S(2 | e)

α = arctan(f'(2)) - arctan(g'(2)) = arctan(0.5·e) - arctan(- 0.25·e) = 87.85°

d) Eine Ursprungsgerade h berührt den Graphen von f als Tangente. Wo liegt der Berührungspunkt von f und h? Wie lautet die Gleichung von h?

(f(x) - 0)/(x - 0) = f'(x) → x = 2

h(x) = 0.5·e·x

e) Wie groß ist die Fläche A, welche von f und g und der y-Achse umschlossen wird?

d(x) = g(x) - f(x) = e^(1.5 - 0.25·x) - e^(0.5·x)

D(x) = - 4·e^(1.5 - 0.25·x) - 2·e^(0.5·x)

A = ∫(0 bis 2) d(x) dx = D(2) - D(0) = 4·e^1.5 - 6·e + 2 ≈ 3.617

Comments

Ich traue mich, auch MC zu kritisieren: In seinen Ausführungen zu d) wird nichts erklärt, nichtmal die wechselnde Bedeutung der Variable x. Als "Antwort" - zumal das Ergebnis schon bekannt ist- halte ich das mathematisch, didaktisch und philologisch für unzulänglich.

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Er liefert ja auch nach eigener Aussage oftmals nur eine Vergleichslösung, selbst wenn sie bereits existiert. Erklärungen sucht man da häufig vergeblich. Gleichzeitig hat er auch schon kritisiert, wenn alte Fragen beantwortet werden, tut es aber auch regelmäßig selbst. Wahrscheinlich hat er dann wieder nicht aufmerksam gelesen.

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Wie so oft hat deine Mitteilung weder etwas mit der Frage zu tun noch ist es ein Hinweis. auf einen Fehler. Also eigentlich nur wieder Spam.