Bestimmen Sie eine Basis von Kern f.

Question

 Sei f : R^4 -> R^3 eine lineare Abbildung mit f(x) = B* x, dabei

B =      1 1 1 1
            0 1 2 1
            2 1 0 1

a) Bestimmen Sie eine Basis von Kern f.

Answer 1

Kern(φ)  ist die Lösungsmenge von B * \(\vec{x}\) = \(\vec{0}\)

Koeffizientenmatrix des LGS:

⎡ 1  1  1  1  0 ⎤

⎢ 0  1  2  1  0 ⎥     

⎣ 2  1  0  1  0 ⎦

→  

⎡ 1   1   1   1  0 ⎤

⎢ 0   1   2   1  0 ⎥

⎣ 0  -1  -2  -1  0 ⎦      G3 - 2*G1

→

⎡ 1  1  1  1  0 ⎤

⎢ 0  1  2  1  0 ⎥

⎣ 0  0  0  0  0 ⎦        G3 + G2

Z3  →  x₄ = r  und  x₃ = s    sind beliebig wählbar.

Z2  →  x₂ = - r - 2s

Z1 →   x₁ = - r - s - ( - r - 2s)  = s

→  Kern(φ) = { ( s , r-2s , s , r ) ∈ ℝ⁴ | r,s ∈ ℝ }

                     =  { s * ( 1 , -2 , 1 , 0 )  +  r * (0 , - 1 , 0 , 1 )  | r,s ∈ ℝ }

→  Basis von Kern(φ)  =  {  ( 1 , -2 , 1 , 0 ) ; (0 , - 1 , 0 , 1 ) }

Gruß Wolfgang