Die Wahrscheinlichkeiten kommen an die Äste des Baumdiagramms (also dort wo du "Öl", "kein Öl", "korrekt", "nicht" hingeschrieben hast). An die Knoten des Baummdiagrams kommen die Ereignisse.
In deinen beiden Ästen "Öl" und "kein Öl" ist die Bedeutung von "korrekt" abhängig davon, ob Öl vorhanden ist oder nicht. Das sollte nicht sein.
Scheue nicht davor zurück, Namen für Ereignisse einzuführen:
\(Ö\): in dem Gebiet ist Öl vorhanden.
\(\bar{Ö}\): in dem Gebiet ist kein Öl vorhanden.
\(B\): die Probebohrung deutet darauf hin, dass Öl vorhanden ist.
\(\bar{B}\): die Probebohrung deutet darauf hin, dass kein Öl vorhanden ist.
Gegeben ist \(P_Ö(B) = 89\%\), \(P_{\bar{Ö}}(B) = 16\%\), \(P(Ö) = 63\%\).
Gesucht ist \( P_{\bar{B}}(Ö) \).
Laut Definition der bedingten Wahrscheinlicheit ist \( P_{\bar{B}}(Ö) = \frac{P(\bar{B} \cap Ö)}{P(\bar{B})} \). Es müssen also \(P(\bar{B})\) und \(P(\bar{B} \cap Ö)\) berechnet werden.
Wegen des Satzes über totale Wahrscheinlichkeit ist \(P(\bar{B}) = P_Ö(\bar{B})\cdot P(Ö) + P_{\bar{Ö}}(\bar{B})\cdot P(\bar{Ö}) \). Dabei ist
\(P(Ö)\) gegeben,
\(P_Ö(\bar{B}) = 100\% - P_Ö(B) \),
\(P_{\bar{Ö}}(\bar{B}) = 100\% - P_{\bar{Ö}}(B)\),
\(P(\bar{Ö}) = 100\% - P(Ö)\).
Laut Definition der bedingten Wahrscheinlicheit ist \(\frac{P(\bar{B} \cap Ö)}{P(Ö)} = P_Ö(\bar{B})\). Dabei ist
\(P(Ö)\) gegeben
\( P_Ö(\bar{B}) = 100\% - P_{Ö}(B)\).
