Verstehe den zwischen Zwischenschritt nicht // Grenzwert

Question

kann mit jemand den Zwischenschritt erläutern, habe den so von der Tafel übernommen aber verstehe ihn nicht so wirklich

kann mir jemand den ersten auf den zweiten schritt erklären? wie kommt man auf das 1/(sin(1-x) als Doppelbruch? und beim zweiten schritt eventuell noch die ableitung wo das ln verschwunden ist?

$$ \lim _{ x->1 }{ ((ln({ x }^{ 2 }-1)*sin(1-x))\quad =\quad  } \lim _{ x->1 }{ (\frac { ln({ x }^{ 2 }-1) }{ \frac { 1 }{ sin(1-x) }  } )\quad =\quad  } \frac { \infty  }{ \infty  } \quad =\quad \frac { \frac { 2x }{ { x }^{ 2 }-1 }  }{ \frac { cos(1-x) }{ { sin }^{ 2 }(1-x) }  }  $$

Vielen DANK!!

Answer 1

                                      

Answer 2

Das ist ja ein Grenzwert vom Typ   ∞ * 0

Damit man den Satz von Hospital anwenden kann,

macht man daraus den Typ  ∞ /  ∞ .

Das geht im Fall    Typ   ∞ * 0   immer, wenn man durch

den Kehrwert des Faktors, der gegen 0 geht ,  dividiert,Jedenfalls, wenn der sein Vorzeichen nicht ständig ändert.

Denn das geht dann gegen unendlich.

Und darauf kann man dann Hospital anwenden.

Die Ableitung von ln(x) ist ja 1/x .

Also ist es bei ln(x² -1 )

zunächst mal  1 / (x² -1 )   aber wegen der

Kettenregel muss man noch mal 2x nehmen, also

2x /  (x² -1 ) .

Comments

Hallo mathef:

Kannst du mir bei dieser Aufgabe helfen.

https://www.mathelounge.de/415899/vektrorraum-uber-ein-korper

Answer 3

die ableitung wo das ln verschwunden ist?

[ ln ( term ) ] ´ = ( term ´ ) / term
ln ( x^2 - 1 ) = 2*x / ( x^2 -1 )

Stimmt soweit mit deiner letzten Umformung überein.

Comments

Den letzten Term kann man auf einen Bruchstrich
schreiben.
Allerdings kommt beim Grenzwert 0 / 0 heraus.
Also nochmals L´Hospital
Dann kommt 0 / 1 = 0 heraus.