Wie komme ich bei 5x=12 mod 13 weiter?

Question

ich sitze hier gerade vor einer Aufgabe zum chinesischen Restsatz und verzweifel hier irgendwie. Eine der gegebenen Kongruenzen ist

5x=  12 mod 13

Wie soll ich hier rechnen? Immerhin ist da eine 5 vor dem x und wir hatten immer nur x dort stehen.

!

Answer 1

Guten Morgen MathFox,

Du kannst diese Gleichung bezüglich des Moduls 13 so umwandeln, dass der Koeffizient vor dem x verschwindet, indem Du das multiplikative Inverse von 5 in $$\mathbb{Z}/13\mathbb{Z}$$ findest. Es gilt nämlich: $$\underbrace{5^{-1}}_{\text{multiplikatives Inverses}}\cdot 5 = 5\cdot5^{-1}\equiv 1\mod 13$$ Das multiplikative Inverse kannst Du z.B. mit dem erweiterten Euklidischen Algorithmus bestimmen:

Nun multiplizierst Du beide Seiten der Kongruenz mit dem multiplikativen Inversen von 5 (= 8) und erhältst: $$5\cdot 8 \equiv 12\cdot 8\mod 13 $$ Das ist modulo 13 dasselbe wie $$1\equiv 5 \mod 13$$ Damit kannst Du dann wie gewohnt weiterrechnen.

Konnte ich Dir damit weiterhelfen?

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André, savest8

Answer 2

Du kannst notfalls die Folge (5x)_x∈ℕ nach 13 reduzieren: 5, 10, 2, 7, 12. Das fünfte Glied ist 12, also x=5.

Comments

x=8               

PS, Korrektur: Es ist

5x ≡ 12 mod 13                 

Multiplkation mit 8 ergibt

40x ≡  96 mod 13

x ≡ 5 mod 13.