Grenzwert von Funktionen mehrerer Variablen

Question

Wir haben neulich mit dem Thema Funktionen mehrer Variablen angefangen und haben folgende Aufgabe bekommen:

Untersuchen sie folgden Grenzwert

$$ \underset { (x,y)\rightarrow (0,1) }{ lim } \frac { 2x }{ x+y-1 } \quad \quad \quad \quad und\quad \quad \quad \underset { (x,y)\rightarrow (0,0) }{ lim } x\quad sin(\frac { 1 }{ y } )\\ \\  $$

In meinem Aufschrieb steht das sich die Annäherung an einen vorgegebenen  Punkt bei Funktionen mit mehreren Variablen auf unendliche viele Wegen möglich ist und der Grenzwert nur dann existiert wenn auf allen wegen der selbe Grenzwert herauskommt.

Wir haben dann noch ein Beispiel durchgerechnet indem wir uns einem Punkt mit Hilfe einer Ursprungsgerade genähert  und haben festgestellt das Ergebnis ist vom Weg abhängig und somit existiert der Grenzwert nicht.

Ich habe keine Ahnung wie ich an diese Aufgaben herangehen soll. Wäre froh wenn mir da jemand helfen könnte.

Answer 1

Ich probier es nur mal ohne Anspruch auf Richtigkeit. Ist schon lange her das ich Grenzwerte von mehreren Unbekannten hatte.

lim ((x, y) --> (0, 1)) 2·x/(x + y - 1)

x = r·COS(a)

y = 1 + r·SIN(a)

lim (r --> 0) 2·(r·COS(a)) / ((r·COS(a)) + (1 + r·SIN(a)) - 1)

lim (r --> 0) 2·COS(a)/(COS(a) + SIN(a))

Das gibt aber für verschiedene Werte von a verschiedene Grenzwerte. Daher gibt es hier keinen Grenzwert.

Comments

lim ((x, y) --> (0, 0)) x·SIN(1/y)

x = r·COS(a)

y = r·SIN(a)

lim (r --> 0) r·COS(a)·SIN(1/(r·SIN(a))) = 0

r geht gegen 0 und SIN() und COS() sind endliche Werte zwischen 0 und 1. Damit ist 0 der Grenzwert.

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ich habe nicht ganz verstanden wo die +1 bei der aufgabe a.)

y = 1 + r·SIN(a)

herkommt.

weil y gegen 1 strebt?

Es wäre auch möglich sich den Grenzwert über Geraden zu betrachten also bei der b zum beispiel: 

lim ((x, y) --> (0, 0)) x·SIN(1/y)

y=m·x

lim(x-->0) x·sin (1/m·x)=0

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Sind damit alle möglichen Wege berücksichtigt?
Alternative: \(0\le\left\vert x\cdot\sin\frac1y\right\vert=\vert x\vert\cdot\left\vert\sin\frac1y\right\vert\le\vert x\vert\cdot1=\vert x\vert\).

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"weil y gegen 1 strebt?"

ja genau.

Ich betrachte mit dieser Methode alle Punkte um einen Punkt herum im Abstand r.

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ok werden die Polarkoordinaten, Kreiskoordinaten benutzt werden somit alle möglichen wege berücksichtigt ist das soweit richtig?                                                                                                                                                                                                                                                                                                 Mit hilfe von geraden könnte man aber zeigen das der Grenzwert vom Weg abhängt.                                                                                                                                                                              Beispielsweise:                                                                                                                                      lim((x,y)-->(0,0))   (x⋅y)/(x²+y²)                                                                                                                                                                                                                                                                                                  y=m⋅x
                                                                                                                                                                        lim(x-->0) (x²⋅m)  /   (x²+x²+m²) =   m / 1 + m²                                                                                                                                                                                                                                                                            da sich m nicht rauskürzt ist der Grenzwert vom weg abhängig und somit existiert nicht?  

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Wie kommt man denn hier überhaupt auf r*cos(a), bzw. 1+r*sin(a)?

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@der_Mathecoach

bei a) lim(x,y)->(0,1) 2x/x+y-1  ::: Wenn ich für y eine Funktion n-ten grades einsetze, an der Stelle 1 dann erhalte ich doch die Funktion: 2x/x+x^n+1-1 ::: +1-1 fällt weg und für die Fallunterscheidung für verschiedene n(>=)1 (also für funktionen 1. Grades; 2. Grades etc) wenn x->0 geht erhält man doch für alle x^n den Grenzwert =0. Damit ist doch dann ein Grenzwert vorhanden oder nicht? Und man hat zudem alle annäherungsmöglichkeiten (quadratisch, kubisch etc.) abgedeckt.

Würde mich freuen, wenn du mir sagen kannst ob das richtig oder falsch ist..