kartesisches Produkt von Ringen und Körpern

Question

Seien (S,+,·) und (R,+,·) zwei Ringe. Wir definieren das Produkt S × R auf die naheliegende Weise, d.h. für a, c ∈S und b, d ∈ R sei (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) und (a,b)·(b,d)=(a·c,b·d). Sind folgende Aussagen richtig oder falsch?

(a) S × R mit den oben definierten Operationen ist ein Ring.

(b) Für alle Körper S und R ist auch S × R ein Körper.  ( Diese Aussage ist falsch, da für einen Körper auch alle Elemente bzgl. der Addition invertierbar sein müssen und das wäre bei dem Produkt zweier Körper nicht).

(c) S x R ein Ring mit 1, so haben auch S und R jeweils eine 1. ( Also wenn (a,b)*1=(1*a,1*b) = (a,b) mit a ∈ S und b ∈ R => a*1= a und b*1=b)... Also denke ich , dass diese Aussage richtig ist.

(d) S × R ist niemals ein Körper, egal wie die Ringe S und R gewählt werden.

Zu (a) und (d) habe ich noch keine Idee.

Answer 1

> S × R mit den oben definierten Operationen ist ein Ring.

Klappere alle Ringaxiome ab.

> Für alle Körper S und R ist auch S × R ein Körper.

Deine Begründung ist zu vage. Gibt zwei Ringe S und R und ein Element x aus S×R an, so dass x bezüglich Addition nicht invertierbar ist.

Außerdem: Der Unterschied zwischen Ringen und Körpern liegt in der Multiplikation, nicht in der Addition. Ich halte es deshalb für erfolgversprechender, zu Argumentieren dass es kein inverses bezüglich Multiplikation gibt.

> Also wenn (a,b)*1=(1*a,1*b)

(a,b)*1=(1*a,1*b) ist ja gerade die Behauptung. Du darfst im Beweis nicht annehmen, dass die Behauptung gilt.