Stetigkeit Komposition von Funktionen

Question

Ich beschäftige mich momentan mit stetigkeit und mir stellt sich die Fragen ob die komposition von 2 nicht stetigen Funktionen ebenfalls nicht stetig ist, oder ob es Fälle gibt wo dies nicht der Fall ist.
MFG

Answer 1

Die Funktion \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},x\mapsto\begin{cases}1 & \text{falls }x\in\mathbb{Q}\\0 & \text{falls }x\in\mathbb{R\setminus Q}\end{cases}\) ist auf ganz \(\mathbb{R}\) definiert und nirgends stetig.

Die Komposition \(f\circ f\) ist auf ganz \(\mathbb{R}\) definiert und überall stetig.