Inverse einer Diagonalmatrix ist wieder eine Diagonalmatrix

Question

Sei A eine quadratische nxn-Diagonalmatrix in ℝ.

Dann gilt: Ist A invertierbar, dann ist A^{-1} eine Diagonalmatrix

Beweis oder besser Gedanken dazu:

Da A invertierbar ist gibt es eine Matrix A^{-1} mit:

$$    \begin{pmatrix}a_{11} & 0 & \dots & 0  \\0 & a_{22} & \dots & 0 \\\vdots    & \dots    & \ddots & \vdots \\0 & 0 & ... &a_{nn}\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}(a_{11})^{-1} & 0 & \dots & 0  \\0 & (a_{22})^{-1} & \dots & 0 \\\vdots    & \dots    & \ddots & \vdots \\0 & 0 & ... &(a_{nn})^{-1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 & \dots & 0  \\0 & 1 & \dots & 0 \\\vdots    & \dots    & \ddots & \vdots \\0 & 0 & ... &1\end{pmatrix}  $$

Aber wie kann ich jetzt zeigen, dass A^{-1} eine Diagonalmatrix sein muss ist, ohne die Eindeutigkeit des Inversen einer Matrix zu benutzen? Denn theoretisch habe ich ja bereits eine passende Diagonalmatrix A^{-1} angegeben

Answer 1

die Multiplikation zweier Matrizen \( A \) und \( B \) ergibt

$$ c_{i,j} = \sum_{k=1}^n a_{ik} b_{kj}  $$ Wenn \( A \) diagonal ist folgt

$$ c_{i,j} = \sum_{k=1}^n a_{ik} \delta_{ik}  b_{kj} = a_{ii} b_{ij} = \delta_{ij}  $$

Mit \( \delta_{ij} \) ist das Kronecker Symbol

Damit ergibt sich für \( i = j \) das gilt \( a_{ii} b_{ii} = 1 \)  also \( b_{ii} = 1 \) und für \( i \ne j \) gilt \(   a_{ii} b_{ij} = 0 \) also \( b_{ij} = 0 \) da ja \( a_{ii} \ne 0 \) gilt