Wasserstand Modelierung mit Cosinus, Erklärung im Sachzusammenhang?

Question

Hey

Hilfe brauche ich nur bei einem Teil der Aufgabe, hier aber die ganze Aufgabe zum besseren Verständnis. Also nicht abgeschreckt sein von der Textmenge :D

Aufgabe:

Ein Mitarbeiter der Wasserbehörde misst regelmäßig den Wasserstand im Graben. Dabei stellt er fest, dass sich der Wasserstand periodisch verändert: Während der Graben im April immer vollständig gefüllt ist, erreicht er regelmäßig in Oktober seinen tiefsten Stand.

Der Mitarbeiter modeliert den Wasserstand, um anormale Widerstände erkennen zu können:

(1) 0-Januar, 1-Februar,2-März usw.

(2) g(x)=a cos(b(x+c))+d

(3) a=1, d=-1, c=-3

(4) Periodenlänge 12, also 12=2π/b

-> b=π/6

(5) g(6)= -1

Probleme habe ich jetzt nur bei dem Teil (4). Und zwar weiß ich, dass er versucht auszurechnen, wie weit die Fkt. nach x-Richtung gestreckt werden muss, weil auf dem Intervall [0;12] wegen der Jahreszeiten ja nur zwei Extremem sein dürfen.

Ich kann nur die Gleichung 12=2π/b überhaupt nicht nachvollziehen. Wie kommt man darauf, die 2π durch b zu teilen??

:s

Danke

Answer 1

Die "normale" cos-Funktion hat ja die Periode 2pi.

also bei cos(x) hat man bei cos(x+2pi) wieder den gleichen Wert wie

bei  cos(x) .  Entsprechend ist es auch bei

cos(x+c) . Da ist bei  x+c+2pi wieder der gleiche Wert wie bei x+c.

Hier soll es aber immer bei x+c+12 wieder der gleiche Wert sein.

Also muss der Wert (x+c) mit einem Faktor b multipliziert werden,

dass dabei die Periodenlänge 12 herauskommt.

Nun ist b zur Periodenlänge umgekehrt proportional; denn wenn du

z-B. b=2 nimmst, wird der Wert  b(x+c) schon den Wert 2pi erreichen

wenn x+c von 0 auf pi ansteigt.

also kurz:  b=1  =>  Periodenlänge 2pi

                b=2 => Periodenlänge pi   etc.

Also allgemien   Periodenlänge =  2pi / b

Und damit  2pi/b = 12 ist

gilt   b =  2pi / 12 = pi/ 6     .

Answer 2

Hi,
die Periodizität erstreckt sich über 12 Monate. Und der Cosinus hat eine Periode von \( 2 \pi \). Also muss gelten
$$ a \cos[ \ b(x+c) \ ] + d = a \cos[ \ (x+12+ c) \ ] + d   $$ also
$$ b(x+12+c) = b(x+c)+2 \pi $$ und daraus folgt
$$ b = \frac{\pi}{6}  $$

Answer 3

Statt g(x)=a cos(b(x+c))+d schreibt man auch gerne g(x)=a cos(2π/p·(x+c))+d. Dann ist p die Periodenlänge (wie man sich überlegen kann) und b=2π/p. Für p=12 ergibt sich  12=2π/b.