könnt ihr mir erklären, wie die auf die Basis für Lamba 3 gekommen sind?
Weil ich hab die Matrix als LGS geschrieben und da kommen zwei Nullzeilen raus, deshalb bin ich verwirrt
Aufgabe 6 ) (9 Punkte) Bestimmen Sie die Eigenwerte \( \lambda_{1}, \lambda_{2} \) und \( \lambda_{3} \) der Matrix
$$ A=\left(\begin{array}{ccc} {2} & {2} & {-1} \\ {2} & {-1} & {2} \\ {-1} & {2} & {2} \end{array}\right) $$
und eine invertierbare Matrix \( T \) und eine Diagonalmatrix \( D \) mit \( T^{-1} A T=D \).
Charakteristisches Polynom:
\( \lambda_{1}=\square \)
\( \lambda_{2}=\square \)
\( \lambda_{3}=\square \)
\( T=\square \)
\( D=\square \)
Lösung: Charakteristisches Polynom
\( (2-\lambda)(-1-\lambda)(2-\lambda)-4-4-(-1-\lambda)-4(2-\lambda)-4(2-\lambda) =-\lambda^{3}+3 \lambda^{2}-4-23+9 \lambda= \)
$$ -\lambda^{3}+3 \lambda^{2}+9 \lambda-27=-(\lambda-3)^{2}(\lambda+3) $$
Die Eigenwerte sind also \( \lambda_{1,2}=3, \lambda_{3}=-3 . \) Eigenraum für \( \lambda=3 \)
$$ \left(\begin{array}{ccc} {-1} & {2} & {-1} \\ {2} & {-4} & {2} \\ {-1} & {2} & {-1} \end{array}\right) $$
und der Eigenraum hat daher als Basis
$$ v_{1}=\left(\begin{array}{c} {1} \\ {0} \\ {-1} \end{array}\right), v_{2}=\left(\begin{array}{l} {2} \\ {1} \\ {0} \end{array}\right) $$
Eigenraum für \( \lambda=-3 \)
$$ \left(\begin{array}{ccc} {5} & {2} & {-1} \\ {2} & {2} & {2} \\ {-1} & {2} & {5} \end{array}\right) \sim\left(\begin{array}{ccc} {5} & {2} & {-1} \\ {2} & {2} & {2} \\ {4} & {4} & {4} \end{array}\right) \sim\left(\begin{array}{ccc} {3} & {0} & {-3} \\ {2} & {2} & {2} \\ {0} & {0} & {0} \end{array}\right) $$ $$ \begin{array}{l} {\text { Basis des Eigenraums }} \\ {\qquad v_{3}=\left(\begin{array}{c} {1} \\ {-2} \\ {1} \end{array}\right)} \end{array} $$ $$ \begin{array}{l} {\text { Es ist also }} \\ {\qquad D=\left(\begin{array}{ccc} {3} & {0} & {0} \\ {0} & {3} & {0} \\ {0} & {0} & {-3} \end{array}\right), T=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {2} & {1} \\ {0} & {1} & {-2} \\ {-1} & {0} & {1} \end{array}\right)} \end{array} $$
