Ableitung der Umkehrfunktion

Question

Ich soll von f(x) = (x^2+1)^x  die Ableitung der Umkehrfunktion an Stelle 2 bestimmen ohne die Umkehrfunktion selbst zu bilden. f(1)=2

Wenn f(1)=2 dann ist ja f-1(2)=1 also würde ich 2 in die Ableitung einsetzen?

Answer 1

Satz von der Abl. der Umkehrfunktion:

f ^--1 ' (y) =  1  /  f ' (x)    wenn   f(x) = y 

bei dir y=2  und  x= 1   und  wegen f (x) = e ^x*ln(x*x+1)  ist

nach der Kettenregel  :

 f ' (x) =  e ^x*ln(x*x+1)  mal Abl. von x*ln(x*x+1) 

=    e ^x*ln(x*x+1)   *  (  1* ln(x*x+1) + x *  1/ (x²+1) *  2x  ) 

Also ist f ' (1 ) =  e ^ln(2) * (   1*ln(2) + (1 / 2) *  2 )

=  2 *  ( ln(2) + 1 ) 

Also    f^{- -1 '} (2) =  1 /  (  2 *  ( ln(2) + 1 ) )

Answer 2

Hier die Skizze

g ( x ) ist die Umkehrfunktion

g ( f ( x ) ) = x
Ableitung
g ´( f ( x ) ) * f ´( x ) = 1
x = 1
f ( x) = 2
f ´( x ) = 3.386
g ´( 2 ) * 3.386 = 1
g ´( 2 ) = 0.295

Dasselbe wie mathef..