Folgen: an = n! / n^2 konvergent?

Question

Durch die Bildungsgesetze in (a) ist jeweils eine reelle Zahlenfolge (

Comments

Dass die Folge nach oben nicht beschränkt ist, kannst du z.B. so zeigen: Für alle \(n>1\) gilt$$\frac{a_n}{(n-2)!}=\frac{n!}{n^2\cdot(n-2)!}=\frac{n\cdot(n-1)\cdot(n-2)!}{n^2\cdot(n-2)!}=1-\frac1n\ge\frac12$$$$\Leftrightarrow a_n\ge\tfrac12(n-2)!.$$

Answer 1

an = n! / n^2

a1 = 1! / 1^2 = 1

a2 = 2! / 2^2 = 2/4 = 1/2

a3 = 3! / 3^2 = 6/9 = 2/3

a4 = 4! / 4^2 = 24/16 = 3/2

Was denkst du ? Konvergiert der ganze Kram ?

Warum konvergiert es wohl nicht ?

Comments

Da wurde meine Beschreibung einfach abgeschnitten.

Meine Lösung hatte ich dazugeschrieben

an = (n-1)/n --> Zähler > Nenner, ergo immer über 1 und monoton steigend. Daher geht sie auch gegen plus-unendlich und ist somit unbestimmt divergent

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Nicht monoton steigend. Betrachte a1 und a2.

Divergent stimmt aber.

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Also ab a2 ist es sms? Ach ich meinte > bestimmt divergent < nicht unbestimmt (da es nicht alternierend ist).
Wie würde ich das "beweisen" bzw. reicht so eine Antwort als "Lösung"?

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an = n! / n^2

= n * (n - 1) * (n - 2)! / n^2

= n/n * (n - 1)/n * (n - 2)!

= n/n * (1 - 1/n) * (n - 2)!

für lim n --> ∞

= 1 * 1 * ∞ = ∞

Answer 2

die Folge ist unbeschränkt und konvergiert somit nicht.