Berechnen Sie den Grenzwert: lim x->0 von( e^{-x} - 1 + x + 1/2x^2 ) / x^3

Question

Bestimmen Sie den folgenden Grenzwert:

\( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{e^{-x}-1+x+\frac{1}{2} x^{2}}{x^{3}} \)

Answer 1

Hi,

es lässt sich  hier keine allgemeine Aussage für x->0 machen, da kein beidseitiger Grenzwert existiert.

 

Nichtsdestotrotz kann man damit beginnen, zweifach den l'Hospital anzuwenden. Man kommt dann auf

lim_x->0^{±} (e^{-x}+1)/6x = lim e^{-x}/6x+1/6x

Für x->0^+

e-Funktion wird 1 (da e^0=1) -> Zwei Summanden die jeweils nach ∞ streben, also auch insgesamt.

 

Für x->0^-

Genau das gleiche nur, dass wir hier beide Male nach -∞ streben, also auch insgesamt.

 

Auch zu sehen im Schaubild:

 

Grüße