Question

Vollständige Induktion ∑_(k=1)^n x^{n-k} y^{k-1} = (x^n - y^n)/(x-y) 

\sum _{ k=1 }^{ n }{ { x }^{ n-k }{ y }^{ k-1 }\quad =\quad \frac { { x }^{ n }-{ y }^{ n } }{ x-y }  }

Ich habe folgende Lösung aus der Übung zur vollständigen Induktion:

Im Induktionschluss in der 3.Zeile von unten ist ein x vor dem Summenzeichen.

Warum wird das so gemacht? Ich sehe keine Ausklammerung, da sich die Summe nicht verändert.

Answer 1

Das Problem ist die Zeile vorher, da wurde das x schon ausgeklammert

aber vergessen davor zu schreiben; denn in der Summe stand  beim ersten

Mal   x^n+1-k  und nach dem Gleichheitszeichen   x^n-k  .  Da fehlte dann

das x vor dem Summenzeichen.

Comments

Also wenn ich das mit deiner Hilfe  mir angucke verstehe ichs. Aber wieso ist der Ansatz falsch wenn ich Summenfolge bis n+1 aufteile und zwar so:

$$\sum _{ k=1 }^{ n+1 }{ { x }^{ n+1 }{ y }^{ k-1 }\quad =\quad \sum _{ k=1 }^{ n }{ { x }^{ n-k }{ y }^{ k-1 } } \quad +\quad { x }^{ n+1-n+1 }{ y }^{ n+1-1 } } $$

Wieso ist dieser Ansatz falsch? Hab das bei anderen Induktionen auch so gemacht.

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in der ersten Summe ist ja der Exponent von dem x der Term  n+1-k

(Das k hast du vergessen.) 

Und dann bleibt es auch bei diesem Term, wenn du den letzten Summanden

extra schreibst.  Die Summe geht dann nur noch bis n, aber das n+1 im

Exponenten bleibt.  Und um das +1 wegzubekommen, musst du ein

x ausklammern.

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Habs denk ich verstanden.