Quadratische Normalparabel, Fläche im 4. Quadranten wird halbiert.

Question

Eine quadratische Normalparabel ist nach oben geöffnet und hat zwei Nullstellen bei x1= -1 und bei x2= 3. Das Schaubild umschließt mit den Achsen im Q4 (vierten Quadranten) die Fläche A. Eine Gerade y = mx + b geht durch den Punkt N(3;0) und halbiert diese Fläche A. Bestimme b .

Ich wäre sehr dankbar für eine hilfreiche Antwort :)

Comments

 EDIT: Das Schaubild umschließt mit den Achsen im Q4 die Fläche ??? . 

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*Die Fläche A

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EDIT: Habe ich oben ergänzt.

Answer 1

Eine quadratische Normalparabel ist nach oben geöffnet und hat zwei Nullstellen bei x1= -1 und bei x2= 3. 

Es geht um die grüne Kurve hier:

~plot~ x^2; x^2-4; (x-1)^2-4; ~plot~ 

Dann fehlt irgendetwas bei der Fläche. 

y = m(x-3) 

~plot~ x-3;(-(x-3));0.5(x-3); (x-1)^2-4; ~plot~

-A = ∫_(0)^3 (x-1)^{2}-4 dx 

= ∫_(0)^3 x^2 - 2x + 1 -4 dx 

= ∫_(0)^3 x^2 - 2x - 3 dx 

= 1/3 x^3 - x^2 - 3x |_(0)^3 

= 1/3 *27 - 9 - 9 - (0)

= 9 - 9- 9 

= -9

==> A = 9.

A/2 = 4.5

Vergleich mit dem Dreieck zwischen x-Achse, y-Achse und der blauen Geraden in Q4.

Das ist ein halbes Quadrat. Fläche 3^2 / 2 = 4.5

==> Die blaue Gerade passt. 

Also y = -3 + x . 

Also b = -3. 

Rechnerische Lösung

y = m(x-3) 

- 4.5 =  ∫_(0)^3  m(x-3) dx 

=  ∫_(0)^3  mx-3m dx 

= mx^2/2  - 3mx |_(0)^3

= m*4.5 - 3m*3 - (0-0) 

= -4.5m

==> -4.5 = -4.5m  ==> m=1 

y = 1*(m-3) = m + (- 3)

==> b = - 3 

Answer 2

Aufgrund der Nullstellen ist
f ( x ) = ( x +1 ) * ( x-3 )
f ( x ) = x^2 - 2 * x - 3

Stammfunktion
S ( x ) = x^3 / 3  - x^2 - 3 * x

Fläche im 4 Quadranten
[ S ( x ) ] zwischen 0 und 3
A ( x ) = | -9 | = 9

Probieren
Die Dreiecksfläche ( grüne oder blaue
Gerade in Lu´s 2.Grafik ) ist
3 * b / 2
( Genauer : 3 * abs(b) / 2 )

und soll 9 / 2 sein
3 * b / 2 = 4.5
b = 3
Richtig
b = -3

Nachweis das sich der y-Achsenabschnitt noch
innerhalb 0 bis f ( 0 ) befindet
f ( 0 ) = -3
Nochmal Glück gehabt.

Wäre dies nicht der Fall ( blaue Gerade steiler )
dann hätte die Gerade die rosa Parabel im 4
Quadranten geschnitten und die Berechnungen
wären deutlich komplizierter geworden.

mfg Georg