Wie zeige ich, dass die Folge a_{n+1}= 1/2*(a_{n}+2/a_{n}) monoton fallend ist? Startwert a_{0}:=1

Question

Gegeben ist die Folge:

a₀= 1

a_n+1= 1/2*(a_n+2/a_n)

Wie zeige ich, dass sie Folge monoton fallend ist, habe bis jetzt keine sinnvollen Ergebnisse bekommen

Schonmal danke für die Hilfe

Answer 1

Bilde die Differenz a_n - a_n+1 .

Das gibt nach Umformen

(an² - 2 ) /  (2an )

Und da a_n ≥ √2  ist , ist alles klar.

Und   a_n ≥ √2    zeigst du durch

(1/2) * ( an + 2 / an )  ≥ √2 

<=>    ( an + 2 / an )  ≥ 2√2 

<=>     an²  + 2    ≥ 2√2an 

<=>     an²   - 2√2an   + 2    ≥ 0  


<=>   ( an  - √2 ) ²    ≥ 0           q.e.d.

Answer 2

beachte, dass die Folge nur für \(n>0\) monoton fallend ist.
Zunächst zwei Vorbereitungen:

\((1)\)  Es ist klar, dass \(a_n>0\) für alle \(n\) gilt.$$\text{(2) }a_{n+1}^{\,2}-2=\frac14\left(a_n+\frac2{a_n}\right)^{\!2}-2=\frac14\left(a_n-\frac2{a_n}\right)^{\!2}\ge0.$$
Damit kannst du nun die Behauptung zeigen:
$$\text{(3) }a_n-a_{n+1}=a_n-\frac12\left(a_n+\frac2{a_n}\right)=\frac{a_n^{\,2}-2}{2a_n}\ge0.$$Gruß

Comments

Irgendwie brauchst da aber noch  a_n²≥ 2 , sonst

ist der letzte Nenner negativ.

Quatsch, das hattest du ja gerade gezeigt.