ich bereite mich gerade auf eine Klausur in Mathematik vor und komme bei einem wichtigen Beweis nicht weiter und hoffe ihr mir weiterhelfen könnt.
Wir betrachten den $$ l_2(\mathbb{Z})=\{(u_n)_{n \in \mathbb{Z}} \in \mathbb{R}^\mathbb{Z}| \sum_{n\in \mathbb{Z}}^{}|u_n|^2 < \infty \} $$ Folgenraum und die Menge $$ M:= \{E^{(k)} | k \in \mathbb{Z}\}$$
wobei $$ E^{(k)}= (..,0,.......,0,....1,..) $$ die Folge in $$ \mathbb{R}^\mathbb{Z} $$ mit allen null Einträgen ausser der k-ten ist.
In der Aufgabe soll ich nun zeigen, dass M eine vollständige Orthonormalbasis von $$l_2(\mathbb{Z})$$ bildet. Die Orthogonalität und "normiertheit" habe ich bereits gezeigt. Da wir unendlichdimensionale Räume betrachten muss ich noch zeigen, dass M dicht in $$l_2(\mathbb{Z})$$ liegt bzgl. der induzierten Norm vom Skalarprodukt $$ <(a_n), (b_n)> := \sum_{n \in \mathbb{Z}}^{}a_n b_n$$
Um die Dichtheit zu zeigen, muss ja folgendes erfüllt sein:
$$\forall (a_n) \in l_2(\mathbb{Z}) \exists (E^{(k)}) \subset M : \lim\limits_{k \rightarrow \infty} E^{(k)} = (a_n)$$ was äquivalent zu $$ \lim_{k \rightarrow \infty} \left \| (a_n)-E^{(k)} \right \| \to 0 $$
ist
Falls das korrekt sein sollte, komme ich dann am folgenden Schritt nicht mehr weiter
$$ || (a_n)-E^{(k)} || = [ \sum_{n \in \mathbb{Z}}^{}(a_n-E^{(k)}_n)^2]^{\frac{1}{2}}= [ \sum_{n \in \mathbb{Z}}^{}(a_n-\delta_{nk})^2]^{\frac{1}{2}}$$
was im Grenzwert ungleich 0 ist.
Bemerkung $$ E^{k}_n$$ ist das n Folgeglied der Folge $$ E^{(k)}$$
