sinus cosinus extremstellen

Question

Ich habe folgende Aufgabe bekommen und kann sie leider nicht lösen:

Gegeben sind die Funktionen: s(x)=sin(x) und f(x)=x*Sin(x)

a) bestätigen sie, dass Beide Funktionen die gleichen Nullstellen haben.

B) bestätigen sie, dass Beide Funktionen NICHT die gleichen Extremstellen haben.

beides soll natürlich rechnerisch geschehen.

Ich hab es versucht aber bin mir nicht sicher beim rechenweg, denn ich weiss nicht wie genau ich das umstellen darf bei den sinus Sätzen.

Ich hoffe auf Antwort.

Answer 1

a) sin)x)=0 für x=kπ mit k∈{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}

x·sin(x) =0 für x=0 oder sin(x)=0. Die 0 ist in der oben genannten Menge bereits vorhanden.

b) An den Extremstellen ist die erste Ableitung gleich 0. s'(x)=cos(x); f '(x)=sinx-x·cosx=cos(x)·[tan(x)-x].

cos(x)=0 für x=π/2+kπ mit k∈{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}

tan(x)-x= 0 insbesondere für x=0   Eine genauere Untersuchung dieser Stelle zeigt, dass eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel vorliegt.

Answer 2

a)

Nullstellen

s(x) = sin(x) = 0 --> x = k * pi

f(x) = x * sin(x) = 0

Nach dem Satz vom Nullprodukt

x = 0 und x = k * pi

x = 0 ist aber der fall x = 0 * pi und damit schon in den Nullstellen der Sinusfuktion enthalten. Es gibt also keine weitere Nullstelle.

b)

Extremstellen

s'(x) = cos(x) = 0 --> x = pi/2 + k*pi

f'(x) = sin(x) + x * cos(x) = 0 --> Wenn hier der Kosinus Null wird ist aber der Sinus ungleich Null und daher sind die Nullstellen der Ableitungen nicht identisch.

Comments

Hallo mathecoach. Um die Nullstellen zu berechnen, wie gehe ich da genau vor ? Kannst du mir bitte einmal explizit den weg erläutern ? Bei mir kommt immer 0 raus und nicht pi.

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Zeichne dir am besten mal die Sinus und Cosinusfunktion auf und schaue wo du dort die Nullstellen hast. Du kannst zur Kontrolle auch einen Funktionsplotter benutzen.