ich soll die größtmögliche Teilmenge aus $$ \mathbb C$$ angeben worauf die Funktion $$f:z \to \frac{1}{1-z}$$ holomorph ist.
Mein Ansatz:
Ich zerlege die Funktion in Realteil und Imaginärteil (schaue ob differenzierbar sind) und prüfe die Cauchy-Riemann Dgl
$$ f_\mathbb R (x,y) = \frac{1}{1-x-iy}= \frac{x}{(1-x)^2+y^2} + i \frac{y}{(1-x)^2+y^2}$$
Wobei ich den Realteil mit u(x,y) und den Imaginärteil mit v(x,y) bezeichne:
Hier taucht mein erstes Problem auf. Ich würde jetzt spontan für Differenzierbarkeit von u(x,y) sagen, dass die Funktion nicht differenzierbar ist für $$ \forall (x,y) \in \mathbb R^2: (1-x)^2+y^2=0 $$ Habe ich damit wirklich alle Stellen abgedeckt ? Analog für v(x,y)
Zweiter Schritt: Prüfen ob die C.R. Dgl erfüllt werden
$$ u_x = \frac{1}{(1-x)^2+y^2} + \frac{2x(1-x)}{((1-x)^2+y^2)^2} $$
$$ v_y = \frac{1}{(1-x)^2+y^2} - \frac{2y^2}{((1-x)^2+y^2)^2} $$
Und
$$ u_y= -\frac{2yx}{((1-x)^2+y^2)^2}$$
$$ v_x = - \frac{2y(1-x)}{((1-x)^2+y^2)^2} $$
Auf den ersten Blick sind die C.R. Dgl nicht erfüllt, aber auch hier kann es ja eventuell spezielle Wertepaare (x,y) geben, sodass die Gleichungen doch erfüllt werden.
Die Aufgabe sieht sehr aufwendig aus, um auf ein richtiges Ergebnis zu kommen (dabei handelt es sich um 1 von 3 Rechenaufgaben einer ehemalige Klausur), sodass ich der Ansicht bin, dass es auch einen schnelleren weg gibt.
