Limes untersuchen, n-te Wurzel und log

Question

Hi, es geht um folgende Aufgabe:

lim_n→∞ $$ \frac { \sqrt [ n ]{ n }  }{ \log { (n) }  }  $$

ich weiß nicht wie ich an die Aufgabe rangehen muss.

Kann man Zähler und Nenner zuerst einzeln betrachten?

log(n) für n-> ∞ geht gegen ∞

$$ \sqrt [ n ]{ n } $$ für n-> ∞ geht gegen 1, das weiß ich aber nur aus dem Internet, wie macht man das dann in der Klausur wenn man sich nicht sicher ist, wie kann man das zeigen?

Zusammen wäre es ja dann "1/∞" geht also gegen 0. Aber ich weiß nicht, wie ich das dann in einer Klausur zeigen müsste?

Comments

Es genügt zu zeigen, dass \(\sqrt[n]n\) beschränkt ist, was z.B. aus \(n\le2^n\) folgt.

Answer 1

Es gibt eine Erweiterung der Grenzwertsaetze für uneigentliche Grenzwerte. Damit kann man direkt schreiben: $$\lim\frac{\sqrt[n]{n}}{\log n}=\frac{\lim\sqrt[n]{n}}{\lim\log n}=\frac{1}{\infty}=0.$$ Voraussetzung ist wie ueblich, dass die einzelnen Grenzwerte in \(\overline{\mathbb{R}}\) existieren und der sich ergebende Ausdruck in \(\overline{\mathbb{R}}\) definiert ist. Das ist hier der Fall.