Varianz der Normalverteilung

Question

für die Varianz habe ich die Formel Var(X)= E(X^2) - E(X)^2 und diese wollte ich benutzen um die Varianz der Standardnormalverteilung zu berechnen. -> ..= E(X*X) - E(X)^2 = E(X)*E(X) - E(X)^2, da ja E(X) = u -> Var(X)= u^2-u^2 = 0... wo mache ich den Fehler?

Answer 1

Die erste Umformung ist falsch. X ist nicht stochastisch unabhängig von sich selbst, deswegen kannst du die Erwartungswerte nicht getrennt berechnen. Im Allgemeinen gilt also nicht: E(X^2) = E(X)^2.

Du musst den Erwartungswert von X^2 entweder per Hand berechnen oder du nutzt aus, dass eine quadrierte standardnormalverteilte Zufallsvariable eine Chi-Quadrat-Verteilung mit einem Freiheitsgrad besitzt.

Comments

was genau bedeutet stochastisch unabhängig von sich selbst? wann kann ich diese umformung benutzen? geht das nur bei unabhängigen, diskreten experimenten?

also müsste ich mit dem integral x^2 mal die dichtefunktion der Normalverteilung berechnen? ich glaub nicht, dass ich das gebacken bekomme.. wie würde das mit der chi-quadrat-verteilung funktionieren? wenn es eine lange rechnung ist, dann brauchst du es mir nicht zu zeigen, es ist nicht klausurrelevant. War nur ein bisschen neugierig .

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Für zwei Zufallsvariablen X und Y gilt E(X*Y) = E(X) * E(Y) im Allgemeinen nur dann, wenn X und Y unabhängig voneinander sind (Stetigkeit der Variablen ist dabei auch erlaubt).

X kann aber logischerweise nicht unabhängig von sich selbst sein, weswegen E(X^2) nicht über E(X) * E(X) berechnet werden kann.

Dein Ansatz für die Berechnung ist richtig. Wesentlich einfacher wird es, wenn die Chi-Quadrat-Verteilung bekannt ist: der Erwartungswert der Chi-Quadrat-Verteilung entspricht ihren Freiheitsgraden. Deswegen folgt hier direkt E(X^2) = 1.

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Super!