Ab welchem Preis erreicht das Unternehmen positive Gewinne?

Question

Ein Unternehmen hat die Kostenfunktion C(y): 4y²+64. Ab welchem Preis erreicht das Unternehmen positive Gewinne?

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Bitte vermeide auch nach mehrfacher Aufforderung die Aufgabe in vollständigem Originaltext zu posten, sonst verdirbst Du uns den Spaß beim Erraten der fehlenden Angaben.

Answer 1

G(y) = p·y - (4·y^2 + 64) = -4·y^2 + p·y - 64

G'(x) = p - 8·y = 0 --> y = p/8

G(p/8) = -4·(p/8)^2 + p·(p/8) - 64 = p^2/16 - 64 = 0 --> p = 32

Ab einem Preis von 32 GE hat man positive Gewinne.

Man hätte auch alternativ die langfristige Preisuntergrenze berechnen können.

C(y) = 4·y^2 + 64

c(y) = 4·y + 64/y

c'(y) = 4·(y^2 - 16)/y^2 = 0 --> y = 4

c(4) = 4·4 + 64/4 = 32 GE

Comments

Hallo mathecoach,
kleiner Fehlerhinweis
Anstelle
G ( x ) = p·y - (4·y² + 64) = -4·y² + p·y - 64
muß es
G ( y ) = p·y - (4·y² + 64) = -4·y² + p·y - 64
heißen.

Du weißt ich bin kein Kaufmann.
Kostenfunktion C(y): 4y²+64.

Dies ist aber eine reichlich merkwürdige
Kostenfunktion. Die Kosten steigen quadratisch
mit der Menge ?

mfg Georg

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Die Skizze zeigt die Verhältnisse für p = 35

bei p = 32  gibt es noch keinen Gewinn. Berührpunkt.

Bei p > 32 gibt es ein Intervall in dem Gewinne gemacht werden.

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Vielen lieben Dank für die Verbesserung von G(x) auf G(y). Ich habe das oben korrigiert. In der Schule nutzt man oft x als Ausbringungsmenge und nicht y. Daher war mir das aus Gewohnheit durchgerutscht.

Typische Kostenfunktionen die in der Schule verwendet werden, sind

lineare, quadratische und kubische Funktionen.

Lineare Kosten benutzt man oft wenn die Produktion beliebig ausgeweitet werden kann. Und man immer die gleichen variablen Stückkosten hat.

Kubisch oder quadratisch, wenn die Produktion bei Auslastung der Kapazität überproportional teurer wird. Als Beispiel werden da z.B. Kosten durch Nachtschichten und Wochenendarbeit oder höhere Wartungskosten für Maschinen genannt, die über Limit strapaziert werden.

Natürlich ist es in der Realität eher nicht so das sich die Kosten so leicht durch ein Polynom bis zum dritten Grad beschreiben lässt. Aber es ist geeignet um Schülern die Grundlagen beizubringen wie Kosten, Erlöse und Gewinne zusammenhängen.

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Von Normalfällen bei einer Kostenfunktion kann
dann wohl nicht unbedingt die Rede sein.

In der Praxis gilt meistens :

wird ein Artikel zum Massenartikel gehen die Preise
meist rapide bergab. Dies wird wohl an den gesunkenen
Gestehungskosten liegen.

Dies habe ich gemerkt als die ersten PC noch teuer
waren und dann später die Preise rapide sanken.

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Die Funktionen geben nicht den Preis in Abhängigkeit der Zeit an sondern in Abhängigkeit der produzierten Menge.

Das mein Samsung Smartphone in 3 Jahren nicht mehr das kostet, was heute dafür verlangt wird ist eine ganz andere Sache.

Aber eventuell kann man sagen, dass die Produktionskosten nur in einem bestimmten Bereich der Produktion optimal sind. Eine niedrigere Ausbringungsmenge würde nicht den Kauf optimaler Produktionsmaschienen ermöglichen und eine Ausweitung der Produktion würde teures outsourcing bedeuten.

Oft macht eine Funktion dritten Grades schon Sinn diesen Zusammenhang zu erläutern.

Das ist es ja was einen Massenartikel auszeichnet. Durch eine größere Produktion kann man die Stückkosten des einzelnen Gerätes drastisch senken.