Regelmäßiges 5-Eck in Quadrat einbeschreiben?

Question

Aufgabe:

Das regelmäßige 5 -Eck hat die Fläche des größtmöglichen regelmäßigen 5-Ecks, welches sich in ein Quadrat mit einer Seitenlänge von 50 m einbeschreiben lässt.

Der Umkreis des 5 -Ecks schneidet Punkt C'.

ADA'B' = Tangentenviereck, dessen Inkreis den Radius des Umkreis des gleichschenkligen Trapez ABCD hat.

Gesucht ist die Fläche AEDA'.

Wie lässt sich eine Formel herleiten, um das größtmögliche regelmäßige 5-Eck, welches in ein Quadrat geht, zu berechnen?

Answer 1

Zu Deiner ersten Frage: die größte Abmessung in einem regelmäßigen Fünfeck ist eine der Diagonale. Ist die Seitenlänge \(a\) so misst die Diagonale \(d=a\frac{1}{2}(\sqrt{5}+1)\). Hat das Quadrat die Seitenlänge \(d\) so wurde das Fünfeck hinein passen.

Umgekehrt gilt, wenn \(d=50\text{m}\) gegeben ist, berechnet sich \(a\) aus

$$a=d\frac{1}{2}(\sqrt{5}-1)=50\text{m} \cdot \frac{1}{2}(\sqrt{5}-1) \approx 30,90 \text{m}$$

Die Fläche \(F\) des Fünfecks ist \(a^2\frac{1}{4}\sqrt{25 + 10\sqrt{5}}\) mit bekanntem \(d\) wird daraus

$$F=d^2 \cdot \frac{1}{16}(\sqrt{5}-1)^2 \cdot \sqrt{25 + 10\sqrt{5}} \approx 1642,91\text{m}^2$$

anbei eine Skizze zur Kontrolle:

Bem.: man könnte das Fünfeck natürlich auch noch etwas drehen! Ich schreibe später noch einen Kommentar dazu!

Um den Rest Deines Mathematikbeispiels zu lösen, benötigt man noch mehr Informationen darüber, wo sich die Punkte A', B' und C' befinden sollen. Liegen B' und C' auf der Symmetrieachse des Fünfecks? Soll C'A' parallel zu AE liegen? Falls beides bejaht wird und falls C' dann noch auf dem Umkreis des Fünfecks liegen soll, so ist die Aufgabe IMHO nicht lösbar.

Schaue Dir folgendes Bild an. Die schwarze Parallele hat einen Abstand von \(r\) zu AD. Auf ihr kann man den Inkreismittelpunkt \(I\) verschieben, aber es gelingt nie den Punkt \(A'\) auf die blaue Gerade durch \(C\prime\) zu schieben.

Wie sind die Informationen zu den Position der Punkte A', B' und C' ?

BTW: ist die Fläche AEDA' oder die Fläche von ADA'B' gesucht?

Gruß Werner

Comments

Wer sagt, dass  BD || PQ  sein muss ?
Eine kleine Drehung kann die Quadratseite verkürzen.

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Ja - hj2166 hat es auch gemerkt.

Wenn man das Fünfeck noch um \(9°\) dreht, so kann man es noch vergrößern. Dann liegt der Punkt \(A\) des Fünfecks auf der Diagonalen durch \(QS\). Die Diagonale \(d\) kann dann

$$d=\frac{1}{\cos {9°}} \cdot 50\text{m}$$

groß sein. Damit vergrößert sich die Fläche um den Faktor \(1/(\cos{(9°)})^2 \approx 1,025\). Die Seitenlänge des Fünfecks ist dann

$$a=\frac{50\text{m}}{2\cos{9°}}(\sqrt{5}-1) \approx 31,287\text{m}$$

Und so sieht es aus:

Gruß Werner