Für welche Werte x konvergiert die Reihe ∑_(n=0)^{∞} (1/(1-x^2))^n?

Question

Ich habe eine Frage zu Bsp. 3.1 über Reihen und Konvergenz. Würde mich über Hilfe freuen!

Aufgabe:

3.1 Für welche Werte \( x \in \mathbb{R} \) ist die Reihe \( \sum \limits_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{1-x^{2}}\right)^{n} \) konvergent? (Begründung!)
Berechnen Sie im konvergenten Fall den Wert der Reihe.

3.2) Für welche Werte \( s \in \mathbb{R}_{\geq 0} \) konvergiert die Reihe \( \sum \limits_{n=1}^{\infty}\left(s-\frac{1}{n}\right)^{n} ? \)

3.3) Beweisen Sie \( \sum \limits_{k=1}^{n} \frac{k}{(n+1) !}=1-\frac{1}{(n+1) !}, \forall n \in \mathbb{N} \) mittels vollständiger Induktion.
3.4) Bestimmen Sie den Wert der konvergenten Teleskopreihe \( \sum \limits_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k^{2}-1} \)

 

Answer 1

Um nach dem Quotientenkriterium zu überprüfen, ob eine Reihe konvergiert müssen wir zeigen dass der Quotient $$\left |\frac{a_{n+1}}{a_n}\right |$$ gegen eine Zahl kleiner als 1 konvergiert, wobei $$a_n=\left(\frac{1}{1-x^2}\right)^n$$ 

Wir haben folgendes $$\left |\frac{a_{n+1}}{a_n}\right |=\left |\frac{\left(\frac{1}{1-x^2}\right)^{n+1}}{\left(\frac{1}{1-x^2}\right)^n}\right |=\left |\frac{\left(\frac{1}{1-x^2}\right)^n\cdot \frac{1}{1-x^2}}{\left(\frac{1}{1-x^2}\right)^n}\right |=\left |\frac{\left(\frac{1}{1-x^2}\right)^n\cdot \frac{1}{1-x^2}}{\left(\frac{1}{1-x^2}\right)^n}\right |$$ 

$$\left |\frac{a_{n+1}}{a_n}\right |=\left |\frac{\left(\frac{1}{1-x^2}\right)^{n+1}}{\left(\frac{1}{1-x^2}\right)^n}\right |=\left |\frac{\left(\frac{1}{1-x^2}\right)^n\cdot \frac{1}{1-x^2}}{\left(\frac{1}{1-x^2}\right)^n}\right |=\left |\frac{1}{1-x^2}\right |=\frac{1}{|1-x^2|}$$ 

Es gilt dass $$\frac{1}{|1-x^2|}<1 \Rightarrow 1<|1-x^2|$$ Davon haben wir dass $$1-x^2>1 \Rightarrow x^2<0 \ \text{ das kann nicht sein}$$ oder $$1-x^2<-1 \Rightarrow x^2>2 \Rightarrow |x|>\sqrt{2} \Rightarrow x>\sqrt{2} \text{ oder } x<-\sqrt{2}$$ 

Die Reihe konvergiert also auf den Intervallen $$(-\infty, -\sqrt{2}) \text{ und } \ (\sqrt{2}, \infty)$$

Jetzt müssen wir noch prüfen ob die Reihe auch an den Ränden $$x=-\sqrt{2}  \ \text{ und } \ x=\sqrt{2}$$ konvergiert. 

Comments

Dankeschön!aber bei Bsp. 3.2 geht das ja dann nicht so einfach, da man im Betrag nicht kürzen kann, da n dann in der Klammer steht und nicht nur als Hochzahl... wie geht man da vor?

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Für 3.2 benutzen wir das Wurzelkriterium. Wir haben wir folgendes:

Um nach dem Wurzelkriterium zu überprüfen, ob eine Reihe konvergiert müssen wir zeigen dass $$\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{|a_n|}<1$$ 

Wir haben dass $$\sqrt[n]{|a_n|}=\sqrt[n]{\left |\left(s-\frac{1}{n}\right)^n\right |}=\left |s-\frac{1}{n}\right |$$ 

Es gilt dass $$\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt{|a_n|}=\lim_{n\rightarrow \infty}\left |s-\frac{1}{n}\right |=|s|$$ 

Die Reihe konvergiert also wenn $$|s|<1 \Rightarrow s\in (-1,1)$$ 

Jetzt müssen wir noch die Rände s = 1 und s = -1 überprüfen. 

Answer 2

das ist eine geometrische Reihe

mit q=1/(1-x^2)

für die Konvergenz muss gelten

|q|=1/|1-x^2|<1

bzw. 1<|1-x^2|

Löse diese Ungleichung.

Im Falle der Konvergenz gilt für die Summe

S=1/(1-q)=(x^2-1)/(x^2)