globale Extremstellen berechnen: f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 1 im offenen Intervall (-2|6)

Question

 Zuerst habe ich die lokalen Extremstellen bestimmt. Leider weiß ich nicht genau, wie man die globalen bestimmt und habe deshalb in Büchern und im Internet 2 verschiedene Ansätze gefunden und weiß nicht welcher richtig ist. 

 f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 1 im offenen Intervall (-2|6)  

Answer 1

Funktion und Ableitungen

f(x) = x^3 - 3·x^2 - 9·x + 1

f'(x) = 3·x^2 - 6·x - 9

f''(x) = 6·x - 6

Extrempunkte f'(x) = 0

3·x^2 - 6·x - 9 = 0 --> x = 3 ∨ x = -1

f(-2) = -1 --> Randbereich liegt nicht unter dem Minimum.

f(-1) = 6 --> Lokaler Extrempunkt EP(-1 | 6)

f(3) = -26 --> Lokaler Tiefpunkt TP(3|-26). Dies ist auch das globale Minimum.

f(6) = 55 --> Randbereich ist zwar größer als das lokale Maximum. Allerdings haben wir ein offenes Intervall und damit gibt es kein globales Maximum.

Comments

EDIT: Achtung. Ich hatte einen Tippfehler in der Überschrift.

Gemäss Bild ist es f(x) = x³ - 3x² - 9x + 1 im offenen Intervall (-2|6)   . 

Sorry.

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Ja. Meine erste Antwort bezog sich auf das Bild und die Rechnung dort. Dann hattest du irgendwie was anderes raus gehabt und ich habe meine Antwort gelöscht gehabt.

Jetzt hab ich aber nochmal mit den richtigen Werten gerechnet.

Answer 2

Mach eine Skizze:

~plot~ x^3 - 3x^2 - 9x + 1; x=-2; x=6; [[-3|7|-50|100]] ~plot~

Es gibt also in diesem Bereich einen Hoch- und einen Tiefpunkt.

Nun musst du noch untersuchen, ob die beiden auch global (im ganzen betrachteten Intervall Extrema sind. 

Da kein Punkt des blauen Graphen unterhalb von f(3) liegt, ist f(3) ein globales Minimum.

Am rechten Rand des Intervalls gibt es allerdings Punkte, die oberhalb von f(-1) liegen. D. h., dass f(6) das globale Maximum wäre. Da aber der Randpunkt nicht zum Intervall gehört, gibt es kein globales Maximum.

Comments

EDIT: Gehört das Intervall bei den globalen Extremstellen mit zur Fragestellung oder nicht?

Meine Antwort gilt für den Fall, dass du das Intervall berücksichtigen sollst.