Ableitung Funktionenschar: fa(x) = a / √ (a * x )

Question

Wie leite ich

f_a(x)   =      a     /          sqrt (a * x  )         ab

Bitte mit Rechenschritte und danke für eure Hilfe !

Answer 1

 

 

f(x) = a / √(a*x)

f(x) = a / (a*x)^1/2

f(x) = a * 1/(a*x)^1/2

a ist eine Konstante und bleibt bei den Ableitungen erst mal stehen, den Bruch können wir gemäß der Regel

(u/v)' = (u'v - uv') / v²

ableiten:

u = 1

u' = 0

v = (a*x)^1/2

Innere Ableitung hier: a

Äußere Ableitung: 1/2 (a*x)^-1/2

Also

v' = 1/2 * a * (a*x)^-1/2

v² = (a*x)^1/2 * (a*x)^1/2 = a*x

Alles zusammen: 

f'(x) = a * ((0 * (a*x)^1/2 - 1 * 1/2 * a  * (a*x)^-1/2) / (a*x))

a * (-1/2 * a * (a*x)^-1/2) / (a*x)

(-1/2 * a * (a*x)^-1/2) / x

(-1/2 * a) / (x * (a*x)^1/2)

-a / (2 * x * (a*x)^1/2)

-a / (  2 * x * √(a*x)  )

 

Mühsam, aber korrekt :-)

Besten Gruß

Answer 2

f(x)   =      a     /          sqrt (a * x  )   

                |Falls a > 0

=      sqrt (a) * sqrt(a)     /    ( sgrt(a) * sqrt( x)  )   

= sqrt (a) / sqrt(x)

                  |sqrt als hoch 1/2 schreiben

= sqrt (a) / x^0.5 

              |neg. Exponent, dafür 'mal' statt durch

= sqrt(a) x^{-0.5}   

f ' (x) = sqrt(a) * (-0.5) * x^{-1.5}

= - sqrt(a) / (2x(√x))

oder einfach neg. Exponenten stehen lassen

= - sqrt(a) / 2   * x^{-1.5}

Falls a negativ sein kann, musst du fast dasselbe nochmals machen:

 

f(x)   =      a     /          sqrt (a * x  )   

                |Falls a < 0

=      sqrt (-a) * sqrt(-a)     /    ( sgrt(-a) * sqrt(- x)  )   

              impliziert also x<0.

= sqrt (-a) / sqrt(-x)

                  |sqrt als hoch 1/2 schreiben

= sqrt (-a) /( -x)^0.5 

              |neg. Exponent, dafür 'mal' statt durch

= sqrt(-a) (-x)^{-0.5}   

f ' (x) = sqrt(-a) * (-0.5) * (-x)^{-1.5}*(-1)         |Kettenregel

= -  sqrt(-a) / (2(-x)(√(-x))

oder einfach neg. Exponenten stehen lassen

= - sqrt(-a) / 2   * x^{-1.5}

Kontrolliere + und - sorgfältig. Ohne Gewähr!

Comments

Hm warum machst du das nicht wie folgt:

fa(x) = a / √(a * x ) = a * (a * x )^{-1/2}

fa'(x) = -a/2 * a * (a * x )^{-3/2} = -a^2/2 * (a * x )^{-3/2}

Dann braucht man keine Fallunterscheidung zu machen oder?

Außerdem sollte bei so einer Funktion eigentlich ein Definitionsbereich für x gegeben sein. Anhand dessen könnte man vermutlich auch bestimmen ob a positiv oder negativ ist.

Aber da wäre der Fragesteller gefordert mehr Informationen zu der Funktion zu liefern.

---

Hm warum machst du das nicht wie folgt:

fa(x) = a / √(a * x ) = a * (a * x )^{-1/2}

fa'(x) = -a/2 * a * (a * x )^{-3/2} = -a^2/2 * (a * x )^{-3/2}

Dann braucht man keine Fallunterscheidung zu machen oder?

Richtig und einfacher! Danke. Ich kürze halt gern a raus, wenn möglich; spätestens wenn ich im Ergebnis noch eine Wurzel aus a im Nenner habe.