Bestimmen Sie den Oberflächeninhalt der dreiseitigen Pyramide

Question

Ich habe mal selber es ausprobiert habe mir auch eine skizze gemacht und die koordinaten des dreiecks aus aufgabe a skizziert. Jetzt komme ich aber leider nicht weiter. Aufgabe b bekomme ich leider auch nicht hin. Ich bitte um Hilfe

Der rechenansatz soll bitte ausführlich dargestellt werden ( ist kein Befehl , sondern nur damit ich das nachvollziehen kann )

!

Die Aufgabe lautet:

Bestimmen Sie den Oberflächeninhalt der dreiseitigen Pyramide

a) mit den Eckpunkten A (3|3|0), B (1|1|4), C (6|0|2), D (4|4|3) und

b) aus nachstehendem Bild

Comments

Eckpunkte sofort erkennen, wie?

ich habe gerade das Thema Vektoren und komm nicht so klar. Wenn man ein Quader oder eine Pyramide gegeben hat, kann man anhand der Punkte schon sagen, wo welcher Punkt ist? Und wie berechnet man den Oberflächeninhalt einer Pyramide? Aufg 21 a). Bitte kein Vorrechnen. Es reicht ein Kontrollergebnis. Ich verstehe das nicht, möchte es aber verstehen.

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Hallo ie4600, hilft dir die Antwort von Roland?  Hattet ihr schon Vektorprodukte?  Wenn dir was unklar ist, dann frag nur.

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Ja, etwas ist wirklich unklar geblieben, aber nur weil ich nicht danach gefragt habe.(Punkte groß geschrieben, Vektoren klein)
Wir haben das Dreieck ABCA(3,3,0), B(1,1,4) C(6,0,2) (siehe Aufg)

a=AB=(-2,-2,4),   b=AC=(3,-3,-2),    e=CB=(-5,1,2)

Die Formel für Dreiecke: A=0.5*√(a^2*b^2-(a*b)^2)
Nun meine Frage:Ist es egal welche 2 Vektoren man miteinander multipliziert?Stimmt das:
 A=0.5*√(a^2*b^2-(a*b)^2)= 0.5*√(a^2*e^2-(a*e)^2)= 0.5*√(b^2*e^2-(b*e)^2)
= 0.5*√-(a^2*b^2-(-a*-b)^2)= 0.5*√(-a^2*-e^2-(-a*-e)^2)=0.5*√(-b^2*-e^2-(-b*-e)^2)Ich habe es bislang nur mit a und b, und a und e versucht. In beiden Fällen kommt das gleiche raus, also sollte es rein theoretisch auch mit b und e klappen, oder? Und wie sieht es mit den Gegenvektoren aus? Würde es auch mit -a und -b oder -a und -e klappen? Tut mir Leid, ich versuche zwar Absätze zu lassen, aber die werden nicht richtig übernommen.

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Leider zu spät um meinen Kommentar oben zu editieren. Der Flächeninhalt dieses Dreiecks ist ca. 10,77. Stimmt es?

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Hallo Jeremy, dein Vektor b ist falsch.  Es muss heißen b = (3, -3, 2).  Deine Formel A=0.5*√(a2*b2-(a*b)2) ist gut.  Die Lösung 10,77 ist korrekt.  Für deine Formel kannst du von einem beliebigen der drei Eckpunkte ausgehen.  Beide Vektoren müssen zu den anderen Eckpunkten zeigen.  (Zeigen sie entgegengesetzt, ist es auch nicht schlimm, da hast du recht.  Schließlich stehen in der Formel lauter Quadrate.)

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. Ich fühl mich langsam sicher beim Rechnen. Danke euch allen!

Answer 1

 "Wenn man ein Quader oder eine Pyramide gegeben hat, kann man anhand der Punkte schon sagen, wo welcher Punkt ist?"

Nicht unbedingt. Manchmal sieht man, in welcher Koordinatenbene ein Punkt liegt.

"Und wie berechnet man den Oberflächeninhalt einer Pyramide?"

Jede dreieckige Teilfläche wird von zwei Vektoren aufgespannt. Das halbe Vektorprodukt dieser beiden Vektoren ist der Inhalt der dreieckigen Teilfläche.

Answer 2

kann man anhand der Punkte schon sagen, wo welcher Punkt ist?

Du möchtest wissen, welche oben und welche unten sind? 

Das brauchst du nicht zu wissen, wenn du die  Oberfläche eines geometrischen Körpers verlangt ist. Man zählt auch den Boden mit zur Gesamtoberfläche. 

Im Fall der Pyramide würde nach der Mantelfläche gefragt, wenn die Grundfläche nicht mitgezählt werden soll. 

Definition der Oberfläche? Betrachte das Bild der abgewickelten Pyramide. Dort ist ein quadratischer Boden mit dabei, weil es sich um eine quadratiscche Pyramide handelt. 

https://de.wikipedia.org/wiki/Pyramide_(Geometrie)#Oberfl.C3.A4chenberechnung_.28quadratische_Pyramide.29

Deine dreiseitige Pyramide hat 4 Dreiecke als Seitenflächen, die du alle berechnen sollst. Resultate addieren.

Wenn du doch mal wissen möchtest, welcher Punkt höher im Koordinatensystem liegt als ein anderer, schaust du auf die z-Komponente der Ecken. (Normalerweise zeigt die z-Achse vertikal nach oben) Bei 21a) ist daher der Punkt B "zuoberst". Das hat, wie gesagt, keinen Einfluss auf die Rechnung.

Answer 3

Wenn ich mich nicht verrechnet habe, dann habe ich als Oberfläche

O = 2·√29 + 5·√2 + 1/2·√206 + 1/2·√374 = 34.69 FE

Bitte kein Vorrechnen. Es reicht ein Kontrollergebnis. Ich verstehe das nicht, möchte es aber verstehen.

Warum langt dir ein Kontrollergebnis, wenn du es nicht verstehst. Das verstehe ich nicht ...

Comments

Ich hab ja gefragt, wie man das berechnet, also allgemeine Vorgehensweise. Die wollte ich übernehmen und selbst rechnen. Musstest du dir zuerst die Punkte ins Koordinatensystem einzeichnen, oder hast du sofort erkannt, welche Punkte einen Dreieck bilden?

Ich wusste nicht welche Vektoren ich in die Formel einsetzen muss ( Siehe Kommentar zu meiner Frage). Wäre sehr nett, wenn du mir da helfen könntest

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Du hast die Punkte A, B, C und D

Weißt du wie eine Dreieckspyramide aussieht? Dann skizziere dir mal eine. Jeweils 3 Punkte Bilden eine Fläche und wir haben 4 davon.

Fläche ABC, ABD, ACD und BCD

Jede Fläche wird einzeln ausgerechnet und dann alle 4 Flächen addiert.

ACHTUNG: Skizzieren heißt nicht, dass du die Punkte in ein Koordinatensystem einzeichnen sollst. Du sollst dir nur eine allgemeine Dreieckspyramide mit den Punkten A, B, C und D aufzeichen, damit du es dir besser vorstellen kannst welche Punkte eine Fläche bilden.

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Ja, ich habe das verstanden. Was ich meine ist folgendes: Kann man ohne überhaupt die Punkte einzuzeichnen, aussagen darüber machen, welche Punkte einen Dreieck bilden? Ich meine, es könnte rein theoretisch sein, dass Punkt a un c vertauscht werden. Dann bilden ja wiederrum andere Punkte ein Dreieck. Um etwas Zeit zu sparen, habe ich gefragt.. vielleicht verstehe ich das ja ganz falsch.

Könntest du vielleicht noch zu dem Komentar oben helfen?

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Es bilden jeweils 3 Punkte eine Fläche. Das kannst du nicht verhindern. Es wäre egal ob A und C vertauscht sind. Dann berechnest du halt die Flächen in einer anderen Reihenfolge.

Hattest du schon Stochastik?

Wie viele Möglichkeiten hast du aus 4 Punkten dir 3 auszuwählen die eine Fläche bilden. Ziehung ohne zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge ?

Das sollte genau 4 Möglichkeiten geben. Und es gibt ja auch genau 4 Flächen die du berechnen möchtest.

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Man bin ich blöd. Ja, da hast du vollkommen recht. Ich mach mir das Leben immer komplizierter als es wirklich ist.

Könntest du vielleicht noch meinen anderen Komentar anschauen) Hier die Kopie

Ja, etwas ist wirklich unklar geblieben, aber nur weil ich nicht danach gefragt habe.(Punkte groß geschrieben, Vektoren klein) 
Wir haben das Dreieck ABCA(3,3,0), B(1,1,4) C(6,0,2) (siehe Aufg) 

a=AB=(-2,-2,4),   b=AC=(3,-3,-2),    e=CB=(-5,1,2) 

Die Formel für Dreiecke: A=0.5*√(a²*b²-(a*b)²) 
Nun meine Frage:Ist es egal welche 2 Vektoren man miteinander multipliziert?Stimmt das: 
 A=0.5*√(a²*b²-(a*b)²)= 0.5*√(a²*e²-(a*e)²)= 0.5*√(b²*e²-(b*e)²) 
= 0.5*√-(a²*b²-(-a*-b)²)= 0.5*√(-a²*-e²-(-a*-e)²)=0.5*√(-b²*-e²-(-b*-e)²)Ich habe es bislang nur mit a und b, und a und e versucht. In beiden Fällen kommt das gleiche raus, also sollte es rein theoretisch auch mit b und e klappen, oder? Und wie sieht es mit den Gegenvektoren aus? Würde es auch mit -a und -b oder -a und -e klappen? Tut mir Leid, ich versuche zwar Absätze zu lassen, aber die werden nicht richtig übernommen.

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bei a und b kommt das gleiche heraus wie bei a und e ?

Bei mir waren alle 4 Flächen unterschiedlich groß. Ich habe die einzelnen Flächen oben noch in meiner Rechnung drin. Dann hast du eine Kontrolle für die Seitenflächen.

Ich habe eine etwas andere Foirmel benutzt. Ich habe mit dem Kreuzprodukt gerechnet.

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Ich dachte es kommt etwas anderes heraus, wenn man von einem anderen Eckpunkt ausgeht. Deshalb habe ich den Flächeninhalt des Dreiecks ABC mit den Vektoren a(AB) und b(AC) und a und e(CB)berechnet. Aber es macht doch keinen Unterschied

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Das sollte eigentlich einen unterschied machen. Setz mal deine Rechnung hier rein.

Fläche ABC

1/2·√([-2, -2, 4]^2·[3, -3, -2]^2 - ([-2, -2, 4]·[3, -3, -2])^2) = 2·√29

1/2·ABS([-2, -2, 4] ⨯ [3, -3, -2]) = 2·√29

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Einfach für [3,3,2] [-5,1,2] einsetzen. Das ergebnis bleibt 2*Wurzel(29)

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[3,3,2] ist doch schon von den Vorzeichen verkehrt.

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Upps, ja aber wegen dem Quadrat ist das Ergebnis trotzdem 2*Wurzel (29)

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Nicht ganz. Der letzte Teil wird erst verrechnet und dann quadriert. Also das - (a * e)^2

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Schau unter

https://www.mathelounge.de/430971/bestimmen-oberflacheninhalt-einer-dreiseitigen-pyramide?show=430974#a430974

Da habe ich die detaillierte Rechnung hingeschrieben und die richtigen Ergebnisse.

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Warum wird meine Frage als "Existiert bereits: betittelt. War docj erster :D

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Nur weil in dem anderen Beitrag die Aufgabe komplett inkl. b dort ist.

Und wenn es später zusammengeführt wird, dann ist die vollständige Aufgabe oben. Das finde ich persönlich schöner.

Answer 4

Bestimmen Sie den Oberflächeninhalt der dreiseitigen Pyramide mit den Eckpunkten A = [3, 3, 0], B = [1, 1, 4], C = [6, 0, 2] und D = [4, 4, 3]

AB = [1, 1, 4] - [3, 3, 0] = [-2, -2, 4]

AC = [6, 0, 2] - [3, 3, 0] = [3, -3, 2]

AD = [4, 4, 3] - [3, 3, 0] = [1, 1, 3]

BC = [6, 0, 2] - [1, 1, 4] = [5, -1, -2]

BD = [4, 4, 3] - [1, 1, 4] = [3, 3, -1]

Fläche ABC: 1/2·ABS([-2, -2, 4] ⨯ [3, -3, 2]) = 2·√29

Fläche ABD: 1/2·ABS([-2, -2, 4] ⨯ [1, 1, 3]) = 5·√2

Fläche ACD: 1/2·ABS([3, -3, 2] ⨯ [1, 1, 3]) = 1/2·√206

Fläche BCD: 1/2·ABS([5, -1, -2] ⨯ [3, 3, -1]) = 1/2·√374

O = 2·√29 + 5·√2 + 1/2·√206 + 1/2·√374 = 34.69 FE

Comments

Schaffst du es bei 21b) die Koordinaten der Punkte aus dem Schaubild abzulesen?

A = [4, 4, 4]

B = [1, 5, 2]

C = [1, 1, 4]

D = [2, 4, 6]

Gerechnet wird genauso wie bei 21.a)

Answer 5

Dreieckige Flächen zwischen den Vektoren a und b berechnet man als IaxbI/2 (halber Betrag des Vektorprodukts). Beispiel:

BA=(2;2;-4), CA=(-3;3;-2) Vektorprodukt (8;16;12). Davon ist 2√29 der halbe Betrag.