Extremwert senkrechte Säule und zylinderförmiger Behälter

Question

Ich habe zwei ganz e Fragen/Aufgaben zum Thema Extremwertprobleme.

1. Welche senkrechte Säule mit quadratischer Grundfläche und dem Rauminhalt von 8 dm^3 hat die kleinste Oberfläche?

2. Ein zylinderförmiger Behälter soll 5 L. Fassungsvermögen haben. Wie müssen Radius und Höhe gewählt werden, damit die Oberfläche minimal ist?

Ich verstehe überhaupt nicht wie ich das berechnen soll. Wäre nett, wenn mir jemand das Ganze so leicht wie möglich erklären könnte.

:)

Answer 1

1. Welche senkrechte Säule mit quadratischer Grundfläche und dem Rauminhalt von 8 dm³ hat die kleinste Oberfläche?

V = a^2·h --> h = V/a^2

O = 2·a^2 + 4·a·h = 2·a^2 + 4·a·(v/a^2) = 2·a^2 + 4·V/a

O' = 4·a - 4·V/a^2 = 0 --> a = V^{1/3}

Damit ist die Säule ein Würfel.

Answer 2

Als erstes stellst du die Zielfunktion auf. Die lautet für den Oberflächeninhalt

O_(x) = 2x²+4ah

x ist die Seitenlänge des Quadrats und h die Höhe.

Dann stellst du die beiden Variablen in Bezug zueinander:

Grundfläche mal Höhe = Volumen, also

x²*h = 8  Diese Gleichung löst du nach x oder h auf, ich habe nach h aufgelöst:

h = 8/x²

Das setzt du in die Zielfunktion ein:

O_(x) = 2x²+4a*8/x²

Wenn du diesen term vereinfachst, de erste Ableitung bildest, diese gleich null setzt nach x auflöst, erhältst du als Ergebnis 2.